2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数（第2课时）指数函

第四章指数函数与对数函数第2课时指数函数及其性质的应用(习题课)第四章指数函数与对数函数考点学习目标核心素养比较大小能利用指数函数的单调性比较与指数有关的大小问题逻辑推理、数据分析指数方程与指数不等式能借助指数函数的单调性求解指数方程与指数不等式问题逻辑推理、数学运算指数型函数的单调性会求与指数函数有关的复合型函数的单调性逻辑推理指数函数的实际应用会解决与指数函数有关的实际问题数学建模比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1.利用指数函数的单调性比较大小【解】(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5＞1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2.(2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为0＜0.6＜1，所以函数y＝0.6x在R上是减函数，因为－1.2＞－1.5，所以0.6－1.2＜0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2＞1.70＝1，0.92.1＜0.90＝1，所以1.70.2＞0.92.1.比较幂值大小的三种类型及处理方法比较下列几组值的大小：(1)25－12和(0.4)－32；(2)(－2.5)23和(－2.5)45.解：(1)由于(0.4)－32＝25－32.因为0251，－12－32，所以25－12(0.4)－32.(2)由于(－2.5)23＝2.523，(－2.5)45＝2.545.因为2.51，4523，所以2.5452.523，即(－2.5)45(－2.5)23.求满足下列条件的x的取值范围．(1)3x－19x；(2)a－5xax＋7(a0，且a≠1)．解简单的指数方程与指数不等式【解】(1)因为3x－19x，所以3x－132x，又y＝3x在定义域R上是增函数，所以x－12x，所以x－1.即x的取值范围是(－∞，－1)．(2)当a1时，因为a－5xax＋7，所以－5xx＋7，解得x－76；当0a1时，因为a－5xax＋7，所以－5xx＋7，解得x－76.综上所述，当a1时，x的取值范围是－∞，－76；当0a1时，x的取值范围是－76，＋∞.(1)指数方程的类型可分为：①形如af(x)＝ag(x)(a0，且a≠1)的方程化为f(x)＝g(x)求解；②形如a2x＋b·ax＋c＝0(a0，且a≠1)的方程，用换元法求解．(2)指数不等式的类型为af(x)ag(x)(a0，且a≠1)．①当a1时，f(x)g(x)；②当0a1时，f(x)g(x)．含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解．1．已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围．解：因为a2＋a＋2＝a＋122＋74＞1，所以y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数．所以x＞1－x，解得x＞12.所以x的取值范围是12，＋∞.2．解方程4x＋2x－6＝0.解：设t＝2x(t＞0)，则原方程可化为t2＋t－6＝0.即(t＋3)(t－2)＝0.解得t＝－3或t＝2.又因为t＝2x＞0，所以t＝2，即2x＝2＝21，解得x＝1.所以方程4x＋2x－6＝0的解为x＝1.判断f(x)＝13x2－2x的单调性，并求其值域．指数型函数的单调性【解】令u＝x2－2x，则原函数变为y＝13u.因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又因为y＝13u在(－∞，＋∞)上递减，所以y＝13x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝13u，u∈[－1，＋∞)，所以013u≤13－1＝3，所以原函数的值域为(0，3]．1．(变条件)本例中函数f(x)变为f(x)＝13－x2＋2x试讨论f(x)的单调性．解：函数f(x)的定义域为R.令t＝－x2＋2x，则y＝13t.因为y＝13t在(－∞，＋∞)上是减函数，而t＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，所以f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．2．(变条件)本例中“x∈R”变为“x∈[－1，2]”．判断f(x)的单调性，并求其值域．解：由本例解析知，又x∈[－1，2]，所以f(x)＝13x2－2x(x∈[－1，2])在[－1，1]上是增函数，在(1，2]上是减函数．因为u＝x2－2x(x∈[－1，2])的最小值、最大值分别为umin＝－1，umax＝3，所以f(x)的最大值、最小值分别为f(1)＝13－1＝3，f(－1)＝133＝127.所以函数f(x)的值域为127，3.函数y＝af(x)(a0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝af(x)(a0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．1．函数y＝2x－1的单调增区间为________．解析：由x－1≥0，得函数的定义域为[1，＋∞)．令u＝x－1(x≥1)，则函数u＝x－1(x≥1)为增函数，故函数y＝2x－1的单调增区间为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)2．函数y＝23|1－x|的单调递减区间是________；单调递增区间是________．解析：y＝23|1－x|＝23x－1（x≥1），231－x（x1），因此它的单调递减区间为[1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．答案：[1，＋∞)(－∞，1)某林区2018年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的解析式，并写出此函数的定义域．指数函数的实际应用【解】现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)万立方米；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2万立方米；…经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.解决指数函数应用题的步骤(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．(2)建模：据已知条件，列出指数函数的解析式．(3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．1．某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为b，2018年该市生活垃圾量为a吨，由此可以预测2028年生活垃圾量为()A．a(1＋10b)吨B．a(1＋9b)吨C．a(1＋b)10吨D．a(1＋b)9吨解析：选C.由2018年到2028年共经历了10年，故可以预测2028年生活垃圾量为a(1＋b)10吨．2．为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝116t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)的函数解析式为________；(2)据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：(1)从图中可以看出：当t＝0.1时，y＝1，即可求得方程1160.1－a＝1中的a＝0.1，所以y＝116t－0.1.(2)由题设y≤0.25，则116t－0.1≤0.25，即142t－0.2≤14，故2t≥1.2，所以t≥0.6，因此从药物释放开始至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．答案：(1)y＝116t－0.1(2)0.61．下列判断正确的是()A．2.52.52.53B．0.820.83C．π2π2D．0.90.30.90.5解析：选D.因为y＝0.9x是减函数，且0.50.3，所以0.90.30.90.5.2．若函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C.12，1D．(－∞，1)解析：选C.由已知，得02a－11，得12a1，所以实数a的取值范围是12，1.3．函数y＝121－x的单调递增区间为()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0，1)解析：选A.由已知得，f(x)的定义域为R.设u＝1－x，则y＝12u.因为u＝1－x在R上为减函数，又因为y＝12u在(－∞，＋∞)上为减函数，所以y＝121－x在(－∞，＋∞)上为增函数，所以选A.4．若f(x)＝3x＋1，则()A．f(x)在[－1，1]上单调递减B．y＝3x＋1与y＝13x＋1的图象关于y轴对称C．f(x)的图象过点(0，1)D．f(x)的值域为[1，＋∞)解析：选B.f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A错误；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x0，可得f(x)1，则D错误．故选B.5．已知集合M＝x3x＋1≤19x－2，x∈R，则当x∈M时，求函数y＝2x的值域．解：由3x＋1≤19x－2，得3x＋1≤34－2x.因为函数y＝3x在定义域R上是增函数，所以x＋1≤4－2x，解得x≤1.因为函数y＝2x是增函数，所以当x≤1时，2x≤21＝2，即y＝2x≤2.又因为指数函数y＝2x0，所以0y≤2，即函数y＝2x的值域是(0，2]．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放