2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2.3.1 对数函数的

最新课程标准：(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)．(3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数________________________叫做对数函数，其中___是自变量，函数的定义域是________．状元随笔形如y＝2log2x，y＝log2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．y＝logax(a＞0，且a≠1)x(0，＋∞)知识点二对数函数的图像与性质a＞10＜a＜1图象定义域________值域R过点______，即当x＝1时，y＝0性质在(0，＋∞)上是______在(0，＋∞)上是______(0，＋∞)(1,0)增函数减函数状元随笔底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a＞1时，对数函数的图像“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图像“下降”．第1课时对数函数的概念[基础自测]1．下列函数中是对数函数的是()A．y＝log14xB．y＝log14(x＋1)C．y＝2log14xD．y＝log14x＋1解析：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A2．函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]解析：由题意，得x≥0，1－x＞0，解得0≤x＜1；故函数y＝xln(1－x)的定义域为[0,1)．答案：B3．函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图像大致是()解析：∵0＜a＜1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝loga(x－1)的图像是由y＝logax的图像向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A4．若f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为________．解析：因为f(x)＝log2x在[2,3]上是单调递增的，所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23.答案：[1，log23]题型一对数函数的概念[经典例题]例1下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝logax(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x.【解析】(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝logax(a＞0且a≠1)来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.答案：1对数函数y＝logax系数为1.题型二求函数的定义域[经典例题]例2求下列函数的定义域：(1)y＝log3x2；(2)y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．【解析】(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}.真数大于0.方法归纳求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练2求下列函数的定义域：(1)y＝lg(x＋1)＋3x21－x；(2)y＝log(x－2)(5－x)．解析：(1)要使函数有意义，需x＋1＞0，1－x＞0，即x＞－1，x＜1.∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1,1)．(2)要使函数有意义，需5－x＞0，x－2＞0，x－2≠1，∴x＜5，x＞2，x≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．题型三对数函数的图像问题例3(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图像只可能是下图中的()【解析】(1)A中，由y＝x＋a的图像知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．【答案】(1)C(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则f(log32)＝________.【解析】(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－109，故f(x)＝3x－109，f(log32)＝33log2－109＝2－109＝89.【答案】(2)89(3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为________．【解析】(3)由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1,0＜d＜1.过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.【答案】(3)b＞a＞1＞d＞c状元随笔(1)由函数y＝x＋a的图像判断出a的范围．(2)依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．(3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图像的问题时要注意(1)明确对数函数图像的分布区域．对数函数的图像在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图像之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1.(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像经过点：(1,0)，(a,1)和1a，－1.跟踪训练3(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像，已知a取3，43，35，110，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为()A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35解析：(1)方法一作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为3，43，35，110，故选A.方法二由对数函数的图像在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即3，43，35，110.故选A.增函数底数a＞1，减函数底数0＜a＜1.答案：(1)A(2)函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图像大致为()解析：(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.先去绝对值，再利用单调性判断.答案：(2)A