2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1

第三章函数的概念与性质3．1函数的概念及其表示知识点一函数的有关概念(一)教材梳理填空(1)函数的概念函数的定义一般地，设A，B是，如果对于集合A中的，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数函数的记法定义域x叫做，x的叫做函数的定义域函数值与相对应的y值值域函数值的集合叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集非空的实数集任意一个数x唯一确定的数yf：A→By＝f(x)，x∈A自变量取值范围Ax的值{f(x)|x∈A}(2)同一个函数：如果两个函数的相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．(3)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．定义域对应关系(二)基本知能小试1．判断正误(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．()(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.()(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．函数符号y＝f(x)表示()A．y等于f与x的乘积B．f(x)一定是一个式子C．y是x的函数D．对于不同的x，y也不同解析：y＝f(x)表示的是y是x的函数，故选C.答案：C3．函数f(x)＝14－x的定义域是________．解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域是{x|x4}．答案：{x|x4}4．给出下列三组函数，其中表示同一函数的是_______(填序号)．①f(x)＝x，g(x)＝x2x；②f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1；③f(x)＝x，g(x)＝3x3.解析：①中f(x)＝x与g(x)＝x2x的定义域不同；②中f(x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1的对应关系不同．答案：③知识点二区间及相关概念(一)教材梳理填空(1)区间的概念及记法设a，b是两个实数，而且a＜b，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间______{x|a＜x＜b}开区间______{x|a≤x＜b}半闭半开区间______{x|a＜x≤b}半开半闭区间______[a，b](a，b)[a，b)(a，b](2)无穷大实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}__________{x|x＞a}__________{x|x≤b}__________{x|x＜b}__________(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)(二)基本知能小试1．区间(0,1)等于()A．{0,1}B．{(0,1)}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0≤x≤1}答案：C2．下列区间与集合{x|x＜－2或x≥0}相对应的是()A．(－2,0)B．(－∞，－2]∪[0，＋∞)C．(－∞，－2)∪[0，＋∞)D．(－∞，－2]∪(0，＋∞)解析：集合{x|x＜－2或x≥0}可表示为(－∞，－2)∪[0，＋∞)．答案：C3．下列集合不能用区间的形式表示的个数为()①A＝{0,1,5,10}；②{x|2＜x≤10，x∈N}；③∅；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x＞1，x∈Q}．A．2B．3C．4D．5解析：用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合，只有⑤是连续实数构成的集合，因此只有⑤可以用区间表示，故选D.答案：D题型一函数的概念[学透用活][典例1](1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A．0B．1C．2D．3[解析]①中，因为在集合M中当1x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.[答案]B(2)在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是()①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝x3；②A＝{x|x0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2；④A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；⑤A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.A．①④⑤B．②③④C．②③⑤D．①②④[解析]①中，在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有元素与之对应，故①不是；②中，在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以②不是；④中，A不是数集，所以④不是，③⑤显然满足函数的特征，故③⑤是．[答案]D[方法技巧]1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．根据图形判断对应是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．[对点练清]1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝1x－2D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1解析：A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．答案：B2．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝300x描述．解：把y＝300x看作反比例函数，那么它的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是B＝{y|y≠0}，对应关系把定义域中任意一个数x，对应到B中唯一确定的数．如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|x0}，那么可以构建如下情境：某工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天，则y＝300x，其中，x的取值范围是A＝{x|0x≤300}，y的取值范围是B＝{y|y≥1}，对应关系f把每天的使用量x，对应到唯一确定的使用天数y＝300x.题型二已知函数解析式求定义域[学透用活][典例2]求下列函数的定义域．(1)y＝3－12x；(2)y＝x＋10x＋2；(3)y＝5－x|x|－3；(4)f(x)＝x＋1－x2－3x＋4.[解](1)函数y＝3－12x的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2＞0，即x＞－2，所以x＞－2且x≠－1.所以函数y＝x＋10x＋2的定义域为{x|x＞－2且x≠－1}．(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足5－x≥0，|x|－3≠0，解得x≤5，且x≠±3，所以函数y＝5－x|x|－3的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．(4)要使函数f(x)有意义，则x＋1≥0，－x2－3x＋40，即x≥－1，x＋4x－10，解不等式组得－1≤x1.因此函数f(x)的定义域为{x|－1≤x1}．[方法技巧]求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．[对点练清]1．设全集为R，函数f(x)＝2－x的定义域为M，则∁RM为()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，2]D．[2，＋∞)解析：由2－x≥0解得x≤2，所以M＝(－∞，2]，所以∁RM＝(2，＋∞)．答案：A2．函数f(x)＝xx－1的定义域为________．解析：要使xx－1有意义，需满足x≥0，x－1≠0，解得x≥0且x≠1，故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}．答案：{x|x≥0且x≠1}题型三求函数的值、值域问题[学透用活][典例3](1)f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，则f(2)＝________；g(f(2))＝________；g(a)＋g(0)(a≠－2)＝________.[解析]因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，又因为g(x)＝1x＋2，所以g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112，g(a)＋g(0)＝1a＋2＋12(a≠2)．答案：101121a＋2＋12(2)(2018·杭州七校联考)求下列函数的值域：①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③y＝2x＋1x－3；④y＝2x－x－1.[解析]①观察法：因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．②配方法：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③分离常数法：y＝2x＋1x－3＝2x－3＋7x－3＝2＋7x－3，显然7x－3≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．④换元法：设t＝x－1，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为158，＋∞.[方法技巧]1．函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．2．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．[对点练清]1．[变条件]在本例(1)的条件下，若f(b)＝10，求b的值．解：因为f(x)＝2x2＋2，所以f(b)＝2b2＋2＝10，解得b＝±2.2．[变问法]在本例(1)的条件下，判断点(3,20)是否在函数f(x)的图象上．解：因为f(3)＝2×32＋2＝20，所以点(3,20)在函数f(x)的图象上．3．求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1＋1；(2)y＝1－x21＋x2.解：(1)因为2x＋1≥0，所以2x＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(2)因为y＝1－x21＋x2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，所以021＋x2≤2，则y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]．题型四同一个函数的判断问题[学透用活][典例4]下列各组函数是同一个函数的是_______．(填序号)①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x0与g(x)＝1x0；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.[解析]①f(x)＝－x－2x，g(x)＝x－2x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一个函数；②f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝1x0＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数．[答案]②③[方法技巧]判断两函数为同一个函数的方法