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函数的概念与性质第三章3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值课前自主预习1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.1.最大值(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①∀x∈I,都有;②∃x0∈I,使得.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.(2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象的纵坐标.f(x)≤Mf(x0)=M最高点2.最小值(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①∀x∈I,都有;②∃x0∈I,使得.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.(2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象的纵坐标.f(x)≥Mf(x0)=M最低点温馨提示:(1)最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素.(2)并不是每一个函数都有最值,如函数y=1x,既没有最大值,也没有最小值.(3)最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值.1.函数y=f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,试指出此函数的最小值、最大值和相应的x的值.[答案]f(x)的最小值为-1,此时x=-2;f(x)的最大值为2,此时x=12.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值.()(2)函数的最小值一定比最大值小.()(3)函数f(x)=-x在[2,3)上的最大值为-2,无最小值.()(4)函数最大值对应图象中的最高点,且该点只有一个.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×课堂互动探究题型一图象法求函数的最大(小)值【典例1】(1)已知函数f(x)=x2,-1≤x≤1,1x,x1.求f(x)的最大值、最小值;(2)画出函数f(x)=-2x,x∈-∞,0,x2+2x-1,x∈[0,+∞的图象,并写出函数的单调区间,函数的最小值.[思路导引]作出函数f(x)的图象,结合图象求解.[解](1)作出函数f(x)的图象(如图1).由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1;当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值为1,最小值为0.(2)f(x)的图象如图2所示,f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和[0,+∞),函数的最小值为f(0)=-1.图象法求最大(小)值的步骤[针对训练]1.利用图象求下列函数的最大值和最小值.(1)y=-2x,x∈[1,3];(2)y=|x+1|-|x-2|.[解](1)作出函数图象如右图所示,该函数的图象既有最高点3,-23,也有最低点(1,-2),所以函数y=-2x,x∈[1,3]有最大值-23,最小值-2;(2)y=|x+1|-|x-2|=3,x≥2,2x-1,-1x2,-3,x≤-1.作出函数的图象,由右图可知,y∈[-3,3].所以函数的最大值为3,最小值为-3.题型二利用单调性求函数的最大(小)值【典例2】已知函数f(x)=x+1x.(1)证明:f(x)在(1,+∞)内是增函数;(2)求f(x)在[2,4]上的最值.[解](1)证明:设∀x1,x2∈(1,+∞),且x1x2.则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2-1x2=(x1-x2)·1-1x1x2=x1-x2x1x2-1x1x2.∵x2x11,∴x1-x20,又∵x1x21,∴x1x2-10,故(x1-x2)·x1x2-1x1x20,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(1,+∞)内是增函数.(2)由(1)可知f(x)在[2,4]上是增函数,∴当x∈[2,4]时,f(2)≤f(x)≤f(4).又f(2)=2+12=52,f(4)=4+14=174,∴f(x)在[2,4]上的最大值为174,最小值为52.函数的最值与单调性的关系(1)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是增函数,在区间[b,c)上是减函数,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b处有最大值f(b).(2)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是减函数,在区间[b,c)上是增函数,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b处有最小值f(b).(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则在区间[a,b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值.[针对训练]2.已知函数f(x)=xx-1,x∈[2,5],判断函数f(x)的单调性,并求函数f(x)的最大值和最小值.[解]任取2≤x1x2≤5,则f(x1)=x1x1-1,f(x2)=x2x2-1,f(x2)-f(x1)=x2x2-1-x1x1-1=x1-x2x2-1x1-1,∵2≤x1x2≤5,∴x1-x20,x2-10,x1-10,∴f(x2)-f(x1)0.∴f(x2)f(x1).∴f(x)=xx-1在区间[2,5]上是单调减函数.f(x)max=f(2)=22-1=2,f(x)min=f(5)=55-1=54.题型三求二次函数的最大(小)值【典例3】(1)已知函数f(x)=3x2-12x+5,x∈[0,3],求函数的最大值和最小值.(2)求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值.[思路导引]找出f(x)的对称轴,分析对称轴与给定区间的关系,结合单调性求最值.[解](1)函数f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7,函数f(x)=3(x-2)2-7的图象如图所示,由图可知,函数f(x)在[0,2)上递减,在[2,3]上递增,并且f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4,所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-7.(2)∵函数图象的对称轴是x=a,∴当a2时,f(x)在[2,4]上是增函数,∴f(x)min=f(2)=6-4a.当a4时,f(x)在[2,4]上是减函数,∴f(x)min=f(4)=18-8a.当2≤a≤4时,f(x)min=f(a)=2-a2.∴f(x)min=6-4a,a2,2-a2,2≤a≤4,18-8a,a4.[变式]本例(2)条件变为,若f(x)=x2-2ax+2,当x∈[2,4]时,f(x)≤a恒成立,求实数a的取值范围.[解]在[2,4]内,f(x)≤a恒成立,即a≥x2-2ax+2在[2,4]内恒成立,即a≥f(x)max,x∈[2,4].又f(x)max=18-8a,a≤3,6-4a,a3.①当a≤3时,a≥18-8a,解得a≥2,此时有2≤a≤3.②当a3时,a≥6-4a,解得a≥65,此时有a3.综上有实数a的取值范围是[2,+∞).求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图.(2)在图象上标出定义域的位置.(3)观察单调性写出最值.[针对训练]3.已知函数f(x)=x2+2x+a(x∈[0,2])有最小值-2,则f(x)的最大值为()A.4B.6C.1D.2[解析]函数f(x)=x2+2x+a的对称轴为x=-1,在[0,2]上为增函数,所以f(x)的最小值为f(0)=a=-2,f(x)的最大值为f(2)=8+a=6.[答案]B4.已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是________.[解析]如图可知f(x)在[1,a]内是单调递减的,又∵f(x)的单调递减区间为(-∞,3],∴1a≤3.[答案](1,3]题型四实际应用中的最值【典例4】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R(x)=400x-12x2,0≤x≤400,80000,x400.其中x是仪器的月产量.(1)将利润表示为关于月产量的函数f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)[思路导引]先将利润表示成关于x的函数,再利用函数的单调性求最值.[解](1)月产量为x台,则总成本为(20000+100x)元,从而f(x)=-12x2+300x-20000,0≤x≤400,60000-100x,x400.(2)当0≤x≤400时,f(x)=-12(x-300)2+25000,当x=300时,f(x)max=25000;当x400时,f(x)=60000-100x是减函数,f(x)60000-100×400=2000025000.∴当x=300时,f(x)max=25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大,最大利润为25000元.求解函数最大(小)值的实际问题应注意的2点(1)解实际应用题要弄清题意,从实际出发,引入数学符号,建立数学模型,列出函数关系式,分析函数的性质,从而解决问题,要注意自变量的取值范围.(2)实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决.[针对训练]5.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个.已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,售价应为多少元?最大利润是多少?[解]设售价为x元,利润为y元,单个涨价(x-50)元,销量减少10(x-50)个.∴y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9000≤9000.故当x=70时,ymax=9000.答:售价为70元时,利润最大为9000元.课堂归纳小结1.求函数最大(小)值的常用方法(1)值域.求出函数f(x)的值域,即可求其最值(注意必须确保存在函数值里的最值);(2)单调性法.通过研究函数的单调性来求函数的最值;(3)特殊函数法.利用特殊函数[如一次函数、二次函数、反比例函数、函数y=x+ax(a0)]的单调性来求其最值.2.函数的值域与最大(小)值的区别(1)函数的值域是一个集合,函数的最值是一个函数值,它是值域的一个元素,即定义域中一定存在一个x0,使f(x0)=M(最值).(2)函数的值域一定存在,但函数并不一定有最大(小)值,如y=x在x∈(-1,1)时无最值.
本文标题:2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.1.2 函数的最大(小)值课
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