2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第2课时

课后课时精练2A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知函数f(x)的图像如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的零点个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3答案D答案3解析由图像知函数f(x)的图像与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．解析42．对于函数f(x)＝x2＋c，若f(a)0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点答案C答案5解析利用特殖值法和数形结合的思想验证．如：①令c＝1，则f(x)＝x2＋1，f(2)＝f(－2)＝50，在(－2,2)内无零点；②令c＝0，则f(x)＝x2，f(2)＝f(－2)＝40，在(－2,2)内有一个零点；③令c＝－1，则f(x)＝x2－1，f(2)＝f(－2)＝30，在(－2,2)内有两个零点．因此只有C正确．解析63．函数f(x)的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2)0，f(2.5)0，f(2.25)0，则方程的解所在的区间为()A．(2.25,2.5)B．(2,2.25)C．(2.5,3)D．不能确定答案A解析由于f(2.25)f(2.5)0，则方程的解所在的区间为(2.25,2.5)．答案解析74．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为0，a2，0，a4，0，a8，则下列说法中正确的是()A．函数f(x)在区间0，a16内一定有零点B．函数f(x)在区间0，a16或a16，a8内有零点C．函数f(x)在a16，a内无零点D．函数f(x)在区间0，a16或a16，a8内有零点，或零点是a16答案D答案8解析根据二分法，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，零点应在0，a16或a16，a8内，或零点是a16.解析95．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度小于0.04)为()A．1.5B．1.25C．1.375D．1.4375答案D答案10解析由参考数据，知f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)f(1.4375)0，且1.4375－1.40625＝0.031250.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375.故选D.解析11二、填空题6．已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．答案4解析设等分的最少次数为n，则由0.12n0.01，得2n10，∴n的最小值为4.答案解析127．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)内的实数根时，取中点x1＝3，则下一个含有根的区间是________．答案(2,3)解析令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－10，f(3)＝33－2×3－5＝160，故下一个含有根的区间为(2,3)．答案解析138．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)0，f(1)f(2)f(4)0，则下列命题正确的是________．①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．答案④答案14解析∵f(0)0，f(1)f(2)f(4)0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的．函数的图像与x轴相交有4种可能，如图所示：解析15∴函数f(x)必在区间(0,4)内有零点．故选④.解析16三、解答题9．求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度小于0.1)．解设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－10，f(3)＝20，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根．用二分法逐次计算，列表如下：答案17零点所在区间区间中点中点对应的函数值取中点作为近似值时误差小于的值(2,3)2＋32＝2.5f(2.5)＝0．2500.5(2,2.5)2＋2.52＝2.25f(2.25)＝－0.437500.25(2.25，2．5)2.25＋2.52＝2.375f(2.375)＝－0.10937500.125(2.375，2．5)2.375＋2.52＝2.4375—0.0625答案18∵|2.375－2.4375|＝0.06250.1，∴方程x2－2x－1＝0的一个精确度小于0.1的近似正解可取为2.4375.答案1910．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点为“和谐零点”．试判断函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．(参考数据：f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.4065)≈－0.052)解函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间(1,1.5)上有f(1)＝－20，f(1.5)0，故f(x)在(1,1.5)内有零点．答案20又f(x)＝0，即x3＋x2－2x－2＝0，所以(x＋1)(x－2)(x＋2)＝0，所以f(x)在(1,1.5)内的零点为2，故精确到ε＝0.1的零点为1.4.用二分法逐次计算，列表如下：答案21零点所在区间区间中点中点对应的函数值取中点作为近似值时误差小于的值(1,1.5)1＋1.52＝1.25f(1.25)00.25(1.25，1．5)1.25＋1.52＝1.375f(1.375)00.125(1.375，1．5)1.375＋1.52＝1.4375—0.0625答案22故函数y＝f(x)精确度为ε的零点的近似值为1.4375，显然不等于1.4，故求出的零点不为“和谐零点”．答案23B级：“四能”提升训练1．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？解先在天平左右各放4个球．有两种情况：(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端，答案24①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．答案25①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．答案262．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)0，f(1)0，证明a0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．证明∵f(1)0.∴3a＋2b＋c0，即3(a＋b＋c)－b－2c0.∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c0.则－b－cc，即ac.∵f(0)0，∴c0，则a0.答案27在区间[0,1]内选取二等分点12，则f12＝34a＋b＋c＝34a＋(－a)＝－14a0.∵f(0)0，f(1)0，∴函数f(x)在区间0，12和12，1上各有一个零点．又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．答案本课结束