2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.1.2 函数的单调性（第1课时）函数的单调性

3．1.2函数的单调性第1课时函数的单调性及函数的平均变化率第三章函数考点学习目标核心素养函数单调性的判定与证明了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性逻辑推理求函数的单调区间会借助图像和定义求函数的单调区间数学运算，直观想象函数单调性的应用会根据函数的单调性求参数或解参数不等式数学运算，直观想象第三章函数问题导学预习教材P95－P100的内容，思考以下问题：1．增函数的概念是什么？2．减函数的概念是什么？3．什么是函数的单调区间？1．增函数、减函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有____________，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上____________)，如图(1)所示；f(x1)＜f(x2)单调递增(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有_____________，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上_____________)，如图(2)所示．两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的_____________，也可分别称为_________________或____________________)．f(x1)＞f(x2)单调递减单调区间单调递增区间单调递减区间■名师点拨(1)定义中的x1，x2有以下3个特征①任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；②有大小，通常规定x1x2；③属于同一个单调区间．(2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．2．函数的平均变化率(1)直线的斜率一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称__________为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率__________．直线AB的斜率反映了直线相对于__________的倾斜程度．若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为________．y2－y1x2－x1不存在x轴ΔyΔx(2)平均变化率一般地，当x1≠x2时，称ΔfΔx＝_____________为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1x2时)或[x2，x1](x1x2时)上的平均变化率．f(x2)－f(x1)x2－x13．y＝f(x)在I上是增函数(减函数)的充要条件一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，ΔyΔx＝y2－y1x2－x1(即ΔfΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1)，则：(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是________在I上恒成立；(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是________在I上恒成立．ΔyΔx0ΔyΔx0判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．()(2)若函数y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1，3]．()(3)若函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)f(3)．()(4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．()(5)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×函数y＝f(x)在区间[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是()A．[－2，0]B．[0，1]C．[－2，1]D．[－1，1]解析：选C.观察图像可知此函数的增区间是[－2，1]．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是()A．y＝－1xB．y＝xC．y＝x2D．y＝1－x答案：D若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有()A．k12B．k－12C．k12D．k－12答案：C函数f(x)＝x2＋2x＋1的单调递减区间是__________．答案：(－∞，－1]证明函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．函数单调性的判定与证明【证明】∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2－x1)x1x2＝(x1－x2)(x1x2－4)x1x2.因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．(变问法)若本例的函数不变，试判断f(x)在(0，2)上的单调性．解：函数f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．证明：∀x1，x2∈(0，2)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2－x1)x1x2＝(x1－x2)(x1x2－4)x1x2.因为0＜x1＜x2＜2，所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以函数f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．利用定义证明函数单调性的步骤[注意]作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因式乘积的形式．1．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是()①y＝|x|＋1；②y＝|x|x；③y＝－x2|x|；④y＝x＋x|x|.A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选C.①y＝|x|＋1＝－x＋1(x＜0)在(－∞，0)上为减函数；②y＝|x|x＝－1(x＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；③y＝－x2|x|＝x(x＜0)在(－∞，0)上是增函数；④y＝x＋x|x|＝x－1(x＜0)在(－∞，0)上也是增函数．2．已知函数f(x)＝2－xx＋1，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2－x1x1＋1－2－x2x2＋1＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1).因为x2＞x1＞－1，所以x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，因此f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间．求函数的单调区间【解】y＝－x2＋2|x|＋3＝－(x－1)2＋4，x≥0，－(x＋1)2＋4，x0.函数图像如图所示．函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图像如图所示：由图像可知其单调递增区间为[－1，1]，[3，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－1)，(1，3)．1．已知函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图像如图所示，则函数f(x)的所有单调递减区间为()A．[－4，－2]B．[1，4]C．[－4，－2]和[1，4]D．[－4，－2]∪[1，4]解析：选C.由题干图可得，f(x)在[－4，－2]上递减，在[－2，1]上递增，在[1，4]上递减，可得f(x)的单调递减区间为[－4，－2]，[1，4]．2．函数y＝1x－1的单调递减区间为________．解析：y＝1x－1的图像可由函数y＝1x的图像向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．答案：(－∞，1)，(1，＋∞)(1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是__________；②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为__________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)f(5x－6)，则实数x的取值范围为__________．函数单调性的应用【解析】(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]．①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，即a≤－4.②由题意得－a－1＝3，a＝－4.(2)因为函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)f(5x－6)，所以2x－35x－6，解得x1，即实数x的取值范围为(－∞，1)．【答案】(1)①a≤－4②－4(2)(－∞，1)(变条件)若本例(1)中的函数f(x)在区间(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．解：因为函数f(x)的对称轴为x＝－a－1，又f(x)在(1，2)上是单调函数，所以－a－1≥2或－a－1≤1，即a≤－3或a≥－2.由函数单调性求参数范围的类型及处理方法(1)由函数解析式求参数(2)利用抽象函数单调性求范围①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)f(b)⇔ab(ab)，m≤a≤n，m≤b≤n.②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解．[提醒]单调区间是D≠在区间D上单调．(1)单调区间是D：指单调区间的最大范围是D.(2)在区间D上单调：指区间D是单调区间的子集．1．若函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间[0，2]上不是单调函数，则a的取值范围是__________．解析：因为f(x)＝x2－2(a－1)x＋2的对称轴是x＝a－1，又f(x)在[0，2]上不是单调函数，所以0a－12，所以1a3.答案：(1，3)2．若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)f(－2x＋8)的解集是__________．解析：依题意，得不等式组x≥0，－2x＋8≥0，x－2x＋8，解得83x≤4.答案：83，41．函数y＝x2－6x的减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]解析：选D.y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．2．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A．f(x1)f(x2)B．f(x1)f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定解析：选D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．3．若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)f(3)，则x的取值范围是________．解析：函数的定义域为R，由条件可知，x－23，解得x5.答案：(5，＋∞)4．如图分别为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像，试写出函数y＝f(x)和y＝g(x)的单调增区间．解：由题意，确定函数y＝f(x)和y＝g(x)的单调增区间，即寻找图像呈上升趋势的一段图像．由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的．由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放