2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理（第3

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例第六章平面向量及其应用考点学习目标核心素养测量中的术语理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义直观想象测量距离、高度、角度问题会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题数学建模第六章平面向量及其应用问题导学预习教材P48－P51的内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做______．2．基线与测量精确度的关系一般来说，基线越长，测量的精确度越______．基线高■名师点拨实际测量中的有关名称、术语名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角名称定义图示方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．()(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．()×××从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示，因为两直线平行内错角相等，所以α＝β.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是()A．50nmileB．70nmileC．90nmileD．110nmile解析：选B.如图，设轮船A和轮船B两个小时后分别到达点C，D两处，则OC＝50，OD＝30，∠DOC＝120°.由余弦定理可得CD2＝OC2＋OD2－2OC·ODcos120°＝502＋302－2×50×30×－12＝2500＋900＋1500＝4900，所以CD＝70nmile.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为________m.解析：由题图可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝AC·sin∠BACsin∠B＝60sin30°sin45°＝302(m)．答案：302海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．测量距离问题【解析】如图，在△ABC中，∠C＝180°－(∠B＋∠A)＝45°，由正弦定理，可得BCsin60°＝ABsin45°，所以BC＝32×10＝56(海里)．【答案】56海里[变条件]在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°＝102＋202－2×10×20×12＝300.故BC＝103.即B，C间的距离为103海里．测量距离问题的解题思路求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．1．要测量河对岸A，B两点之间的距离，选取相距3km的C，D两点，并测得∠BCA＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则AB＝()A．2kmB．5kmC．3kmD．6km解析：选B.在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝3km，在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，所以BC＝3sin75°sin60°＝6＋22(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝3＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝5，所以AB＝5km.2．如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°，试求C，D之间的距离．解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝150°.因为AB∥CD，所以∠C＝180°－150°＝30°.在△ABD中，AB＝6，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°，所以AD＝AB·sin∠ABDsin∠ADB＝6×sin60°sin45°＝36，所以BD＝AD·sin∠DABsin∠ABD＝36×sin75°sin60°＝3＋33.在Rt△DBC中，CD＝BDsin∠C＝3＋33sin30°＝6＋63.所以C，D之间的距离为(6＋63)m.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.测量高度问题【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006(m)．【答案】1006[变问法]在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tanα的值．解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知，∠CBE＝75°，BC＝3002，所以CE＝BC·sin∠CBE＝3002sin75°＝3002×2＋64＝150＋1503.所以tanα＝DCCE＝1006150＋1503＝32－63.测量高度问题的解题思路高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为________m.解析：延长CD交过A，B的水平线于点E，F，因为∠CAE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°.所以AC＝AB＝40，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC＝CDsin∠CAD，即4032＝CD12，解得CD＝4033.答案：4033岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．(1)问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．测量角度问题【解】(1)根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，在△ABC中，由ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，得AB＝BCsin∠ACBsin∠BAC＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.所以海监船接到通知时，在距离岛A56海里处．(2)设海监船航行时间为t小时，则BD＝103t，CD＝10t，又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·－12，所以2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)．所以CD＝10，所以BC＝CD，所以∠CBD＝12(180°－120°)＝30°，所以∠ABD＝75°＋30°＝105°.所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．(或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时)测量角度问题的基本思路(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．1．若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°方向上B．北偏西15°方向上C．北偏东10°方向上D．北偏西10°方向上解析：选B.如图所示，∠ACB＝90°.又因为AC＝BC，所以∠CBA＝45°.因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°方向上．2．地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为403m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40m，达到点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离．解：如图，在△PAB中，∠PAB＝30°，PA＝403m，AB＝40m.由余弦定理，得PB＝AB2＋PA2－2·AB·PA·cos∠PAB＝402＋（403）2－2×40×403cos30°＝40(m)．因为AB＝40m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P与他的距离为40m.1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的()A．东偏北45°10′方向上B．东偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上D．西偏南45°50′方向上解析：选C.如图所示．2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于()A．1002米B．50(3＋1)米C．100(3＋1)米D．200米解析：选C.设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝3AB＝3x.因为BD－BC＝CD，所以3x－x＝200，解得x＝100(3＋1)．故选C.3．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cosα＝34cosβ，则v＝()A．60B．80C．100D．125解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)2＝2002＋1502＋2×200×150cos(α＋β)①，由正弦定理得150sinβ＝200sinα，所以sinα＝43sinβ.又cosα＝34cosβ，sin2α＋cos2α＝1，解得sinβ＝35，故cosβ＝45，sinα＝45，cosα＝35，故cos(α＋β)＝1225－1225＝0，代入①解得v＝100.4．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：AC