2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.3.2 6.3.3 6.3.4（

第2课时两向量共线的充要条件及应用第六章平面向量及其应用问题导学预习教材P31－P33的内容，思考以下问题：1．两向量共线的充要条件是什么？2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？两向量共线的充要条件设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b(b≠0)共线的充要条件是_________________．x1y2－x2y1＝0■名师点拨(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成x1x2＝y1y2(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．(2)当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有x1y2－x2y1＝0⇔a∥b.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．()(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.()√√下列各组的两个向量共线的是()A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6)B．a2＝(1，－2)，b2＝(7，14)C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2)D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4)答案：D已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与AB→平行且方向相反的向量a可能是()A．a＝(1，－2)B．a＝(9，3)C．a＝(－1，2)D．a＝(－4，－8)解析：选D.由题意得AB→＝(1，2)，结合选项可知a＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4AB→，所以D正确．已知a＝(3，1)，b＝(2，λ)，若a∥b，则实数λ的值为________．答案：23(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________．(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断AB→与AC→是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？向量共线的判定【解】(1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，所以k＝－13.故填－13.(2)因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，AC→＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，因为2×6－3×4＝0，所以AB→∥AC→，所以AB→与AC→共线．又AB→＝23AC→，所以AB→与AC→的方向相同．[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a－b)与(a＋kb)是反向还是同向？解：由向量(3a－b)与(a＋kb)共线，得k＝－13，所以3a－b＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)，a＋kb＝a－13b＝(1，－2)－13(3，4)＝0，－103＝13(0，－10)，所以向量(3a－b)与(a＋kb)同向．向量共线的判定方法1．(2019·河北衡水景县中学检测)已知向量a＝(－1，2)，b＝(λ，1)．若a＋b与a平行，则λ＝()A．－5B．52C．7D．－12解析：选D.a＋b＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由a＋b与a平行，可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得λ＝－12.2．已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)．判断AB→与CD→是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：AB→＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，CD→＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×40，所以AB→与CD→共线且方向相反．法二：因为CD→＝－2AB→，所以AB→与CD→共线且方向相反．(1)已知OA→＝(3，4)，OB→＝(7，12)，OC→＝(9，16)，求证：点A，B，C共线；(2)设向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．三点共线问题【解】(1)证明：由题意知AB→＝OB→－OA→＝(4，8)，AC→＝OC→－OA→＝(6，12)，所以AC→＝32AB→，即AB→与AC→共线．又因为AB→与AC→有公共点A，所以点A，B，C共线．(2)法一：因为A，B，C三点共线，即AB→与AC→共线，所以存在实数λ(λ∈R)，使得AB→＝λAC→.因为AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即4－k＝λ（10－k），－7＝λ（k－12），解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．法二：由已知得AB→与AC→共线，因为AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．判断向量(或三点)共线的三个步骤1．已知A，B，C三点共线，且A(－3，6)，B(－5，2)，若C点的纵坐标为6，则C点的横坐标为()A．－3B．9C．－9D．3解析：选A.设C(x，6)，因为A，B，C三点共线，所以AB→∥AC→，又AB→＝(－2，－4)，AC→＝(x＋3，0)，所以－2×0＋4(x＋3)＝0.所以x＝－3.2．设点A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，AB→与CD→共线且方向相同，此时A，B，C，D能否在同一条直线上？解：AB→＝(2x，2)－(x，1)＝(x，1)，BC→＝(1，2x)－(2x，2)＝(1－2x，2x－2)，CD→＝(5，3x)－(1，2x)＝(4，x)．由AB→与CD→共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.又AB→与CD→方向相同，所以x＝2.所以当x＝2时，AB→与CD→共线且方向相同．此时，AB→＝(2，1)，BC→＝(－3，2)，而2×2≠－3×1，所以AB→与BC→不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C，D不在同一条直线上．如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．向量共线的应用【解】因为OC→＝14OA→＝14(0，5)＝0，54，所以C0，54.因为OD→＝12OB→＝12(4，3)＝2，32，所以D2，32.设M(x，y)，则AM→＝(x，y－5)，AD→＝2－0，32－5＝2，－72.因为AM→∥AD→，所以－72x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①又CM→＝x，y－54，CB→＝4，74，因为CM→∥CB→，所以74x－4y－54＝0，即7x－16y＝－20.②联立①②解得x＝127，y＝2，故点M的坐标为127，2.应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤如图所示，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求DF→的坐标．解：因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，所以AB→＝(3－7，5－8)＝(－4，－3)，AC→＝(4－7，3－8)＝(－3，－5)．又因为D是BC的中点，所以AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝－72，－4.因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，所以DF→＝－FD→＝－12AD→＝－12－72，－4＝74，2.1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝()A．(4，0)B．(0，4)C．(4，－8)D．(－4，8)解析：选C.因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所以1×4＝(－2)×m，所以m＝－2，所以2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，－8)．2．若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是()A．2m－n＝3B．n－m＝1C．m＝3，n＝5D．m－2n＝3解析：选A.因为三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，所以AB→＝λAC→，所以(1，m－3)＝λ(2，n－3)，所以λ＝12，所以m－3＝12(n－3)，即2m－n＝3.3．平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．解：(1)因为a＝mb＋nc，所以(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n)．所以－m＋4n＝3，2m＋n＝2，解得m＝59，n＝89.(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.所以k＝－1613.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放