2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3.1 二次函数与一元

一元二次函数、方程和不等式第二章2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式课前自主预习1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2．掌握图象法解一元二次不等式．3．通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法．1．一元二次不等式一般地，我们把只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或ax2＋bx＋c0，其中a，b，c均为常数，a≠0.一个2ax2＋bx＋c02．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．实数x3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系温馨提示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．1．二次方程x2－x－6＝0的根与二次函数y＝x2－x－6的零点有怎样的关系？[答案]方程x2－x－6＝0的判别式Δ＝1－4·1·(－6)＝250，可知这个方程有两个不相等的实数根，解此方程得x1＝－2，x2＝3.所以二次函数有两个零点：x1＝－2，x2＝3.所以二次方程的根就是二次函数的零点2．画出二次函数y＝x2－x－6的图象，你能通过观察图象，获得不等式x2－x－60及x2－x－60的解集吗？[答案]二次函数y＝x2－x－6的图象如图，观察函数图象可知：当x－2，或x3时，函数图象位于x轴上方，此时，y0，即x2－x－60的解集为{x|x－2或x3}；当－2x3时，函数图象位于x轴下方，此时y0，即x2－x－60；所以，不等式x2－x－60的解集是{x|－2x3}3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x0是一元二次不等式．()(2)若a0，则一元二次不等式ax2＋10无解．()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|x1xx2}．()(4)不等式x2－2x＋30的解集为R.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√课堂互动探究题型一一元二次不等式的解法【典例1】解不等式：(1)2x2－3x－20；(2)－3x2＋6x－20；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋20.[思路导引]先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集．[解](1)方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－12，x2＝2.因为函数是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是xx－12或x2.(2)不等式可化为3x2－6x＋20.因为3x2－6x＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝120，所以方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－33，x2＝1＋33.因为函数y＝3x2－6x＋2是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是x1－33x1＋33.(3)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝12，函数y＝4x2－4x＋1是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是xx＝12.(4)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．[针对训练]1．解下列不等式：(1)－x2＋7x6；(2)(2－x)(x＋3)0；(3)4(2x2－2x＋1)x(4－x)．[解](1)原不等式可化为x2－7x＋60.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1x6}．(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)0.方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x－3或x2}．(3)由原不等式得8x2－8x＋44x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋40.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝23.结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为xx≠23.题型二三个“二次”关系的应用【典例2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b0的解集为{x|1x2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋10的解集．[思路导引]由x2＋ax＋b0的解集为{x|1x2}，可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，可求出a，b的值，从而得解．[解]∵x2＋ax＋b0的解集为{x|1x2}，∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．由韦达定理有－a＝1＋2，b＝1×2，得a＝－3，b＝2，代入所求不等式bx2＋ax＋10，得2x2－3x＋10.由2x2－3x＋10⇔(2x－1)(x－1)0⇔x12或x1.∴bx2＋ax＋10的解集为xx12或x1.(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．[针对训练]2．不等式ax2＋bx＋20的解集是x|－12x13，则a－b的值为()A．14B．－14C．10D．－10[解析]不等式ax2＋bx＋20的解集是x|－12x13，可得－12，13是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两个实数根，∴－12＋13＝－ba，－12×13＝2a，解得a＝－12，b＝－2，∴a－b＝－12－(－2)＝－10，所以D选项是正确的．[答案]D题型三含参数的一元二次不等式的解法【典例3】解关于x的不等式x2－ax－2a20(a∈R)．[思路导引]先求出方程x2－ax－2a2＝0的两根x1＝2a，x2＝－a，再通过比较2a与－a的大小写出不等式的解集．[解]原不等式转化为(x－2a)(x＋a)0，对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.①当2a－a，即a0时，不等式的解集为{x|－ax2a}；②当2a＝－a，即a＝0时，原不等式化为x20，无解；③当2a－a，即a0时，不等式的解集为{x|2ax－a}．综上所述，当a0时，原不等式的解集为{x|－ax2a}；当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a0时，原不等式的解集为{x|2ax－a}．解含参数的一元二次不等式时(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．[针对训练]3．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.[解]①当a＝0时，原不等式即为－x＋10，解得x1.②当a0时，原不等式化为x－1a(x－1)0，解得x1a或x1.③当a0时，原不等式化为x－1a(x－1)0.若a＝1，即1a＝1时，不等式无解；若a1，即1a1时，解得1ax1；若0a1，即1a1时，解得1x1a.综上，当a0时，不等式的解集为xx1a或x1；当a＝0时，不等式的解集为{x|x1}；当0a1时，不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为x1ax1.课堂归纳小结1．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ0，则对应的二次方程无根；(4)联系二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用．3．解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法，若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免对Δ≤0的讨论.