2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.2 基本不等式的应

题型一利用基本不等式证明不等式[经典例题]例1已知a、b、c0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.【解析】∵a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a.当且仅当a2b＝b时等号成立．b2c＋c≥2b2c·c＝2b.当且仅当b2c＝c时等号成立．c2a＋a≥2c2a·a＝2c，当且仅当c2a＝a时等号成立．相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.状元随笔判断a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0→证a2b＋b≥2a→证b2c＋c≥2b→证c2a＋a≥2c→得所证不等式方法归纳(1)在利用a＋b≥2ab时，一定要注意是否满足条件a0，b0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2ab或a＋b2≥ab(a0，b0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．跟踪训练1已知x0，y0，z0.求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.证明：因为x0，y0，z0，所以yx＋zx≥2yzx0，xy＋zy≥2xzy0，xz＋yz≥2xyz0，所以yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8yz·xz·xyxyz＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．分别对yx＋zx，xy＋zy，xz＋yz用基本不等式⇒同向不等式相乘．题型二利用基本不等式解决实际问题[教材P47例4]例2某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？【解析】设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元．根据题意，有z＝150×48003＋120(2×3x＋2×3y)＝240000＋720(x＋y)．由容积为4800m3，可得3xy＝4800.因此xy＝1600.所以z≥240000＋720×2xy，当x＝y＝40时，上式等号成立，此时z＝297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．状元随笔贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定．如果池底的边长确定了，那么水池的总造价就确定了．因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低．教材反思利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案．跟踪训练2某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则y＝50n－98－12×n＋nn－12×4＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为yn＝－2n＋49n－20≤－22n·49n－20＝12，当且仅当n＝49n，即n＝7时上式取等号．所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．状元随笔1.盈利等于总收入－支出，注意支出，由两部分组成．2．利用基本不等式求平均利润．