2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用（第1课时

第二章等式与不等式2．2.4均值不等式及其应用第1课时均值不等式第二章等式与不等式考点学习目标核心素养均值不等式理解算术平均值与几何平均值的概念，掌握均值不等式及其推理过程数学抽象、逻辑推理利用均值不等式求最值能够运用均值不等式求函数或代数式的最值数学运算问题导学预习教材P72－P75的内容，思考以下问题：1．正数a，b的算术平均值和几何平均值是什么？2．均值不等式的内容是什么？3．均值不等式中的等号成立的条件是什么？4．两个正数的积为常数时，它们的和有什么特点？5．两个正数的和为常数时，它们的积有什么特点？1．算术平均值与几何平均值给定两个正数a，b，数____________称为a，b的算术平均值；数ab称为a，b的几何平均值．2．均值不等式如果a，b都是正数，那么_______________，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b2a＋b2≥ab■名师点拨(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．3．均值不等式与最值已知x＞0，y＞0，则(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最_____值s24.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最______值2p.即：两个正数的积为常数时，它们的和有______值；两个正数的和为常数时，它们的积有______值．大小最小最大■名师点拨利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：①一正：符合均值不等式a＋b2≥ab成立的前提条件，a＞0，b＞0；②二定：化不等式的一边为定值；③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．()(2)若a0，b0且a≠b，则a＋b2ab.()(3)若a0，b0，则ab≤a＋b22.()(4)a，b同号时，ba＋ab≥2.()(5)函数y＝x＋1x的最小值为2.()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×如果a0，那么a＋1a＋2的最小值是()A．2B．22C．3D．4解析：选D.因为a0，所以a＋1a＋2≥2a·1a＋2＝2＋2＝4.不等式(x－2y)＋1x－2y≥2成立的前提条件为()A．x≥2yB．x2yC．x≤2yD．x2y解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正实数，所以x－2y0，即x2y，故选B.已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤x＋（1－x）22＝122＝14，当且仅当x＝1－x，即x＝12时“＝”成立，即当x＝12时，x(1－x)取得最大值14.答案：1412下列结论正确的是()A．若x∈R，且x≠0，则4x＋x≥4B．当x0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2D．当0x≤2时，x－1x无最大值对均值不等式的理解【解析】对于选项A，当x0时，4x＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝1x，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－1x在0x≤2的范围内单调递增，有最大值2－12＝32.【答案】B应用均值不等式时的三个关注点给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使ba＋ab≥2成立的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.当ba，ab均为正数时，ba＋ab≥2，故只需a，b同号即可，所以①③④均可以．故选C.(1)已知t＞0，求y＝t2－4t＋1t的最小值；(2)若实数x，y满足2x＋y＝1，求xy的最大值．利用均值不等式直接求最值【解】(1)依题意得，y＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝t2－4t＋1t(t0)的最小值是－2.(2)因为实数x，y满足2x＋y＝1，所以y＝1－2x，所以xy＝x(1－2x)＝－2x2＋x＝－2x－142＋18≤18，当x＝14，y＝12时取等号，最大值是18.(1)若a＋b＝p(和为定值)，当a＝b时，积ab有最大值p24，可以用均值不等式ab≤a＋b2求得．(2)若ab＝s(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2s，可以用均值不等式a＋b≥2ab求得．不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．1．(2019·北京朝阳期末考试)若x＞0，则y＝12x＋13x的最小值为()A．2B．22C．4D．8解析：选C.因为x＞0，所以y＝12x＋13x≥212x·13x＝4，当且仅当12x＝13x，即x＝16时等号成立，故选C.2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36解析：选B.因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋x＋y22＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取得最大值25.3．若a，b都是正数，则1＋ba1＋4ab的最小值为()A．7B．8C．9D．10解析：选C.因为a，b都是正数，所以1＋ba1＋4ab＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号．(1)已知x2，则y＝x＋4x－2的最小值为________．(2)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．利用均值不等式借助拼凑法求最值【解析】(1)因为x2，所以x－20，所以y＝x＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2≥2（x－2）·4x－2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋4x－2的最小值为6.(2)因为x，y∈(0，＋∞)，x＋4y＝1，所以1x＋1y＝x＋4yx＋x＋4yy＝5＋4yx＋xy≥9，当且仅当4yx＝xy，即x＝13，y＝16时取等号，所以1x＋1y的最小值为9.【答案】(1)6(2)9若把本例(1)中的条件“x2”改为“x2”，求y＝x＋4x－2的最大值．解：因为x2，所以2－x0，所以y＝x＋4x－2＝－（2－x）＋42－x＋2≤－2（2－x）42－x＋2＝－2，当且仅当2－x＝42－x，得x＝0或x＝4(舍去)，即x＝0时，等号成立．故y＝x＋4x－2的最大值为－2.通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．1．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23解析：选B.由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时取等号．2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()A．32－3B．3C．62D．62－3解析：选D.y＝3(x2＋1)＋6x2＋1－3≥23（x2＋1）·6x2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x2＝2－1时等号成立，故选D.3．已知x0，y0，且1x＋9y＝1，则x＋y的最小值为________．解析：x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝10＋yx＋9xy≥10＋2yx·9xy＝10＋6＝16.即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16.答案：161．下列不等式中，正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC．ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23解析：选D.a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错；由均值不等式可知D项正确．2．若a0，b0，a＋2b＝5，则ab的最大值为()A．25B．252C．254D．258解析：选D.a0，b0，a＋2b＝5，则ab＝12a·2b≤12×a＋2b22＝258，当且仅当a＝52，b＝54时取等号，故选D.3．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是()A．2B．aC．2aa－1D．3解析：选D.a＞1，所以a－1＞0，所以a＋1a－1＝a－1＋1a－1＋1≥2（a－1）·1a－1＋1＝3.当且仅当a－1＝1a－1，即a＝2时取等号．4．已知x，y为正实数，且x＋y＝4，求1x＋3y的最小值．解：因为x，y为正实数，所以(x＋y)1x＋3y＝4＋yx＋3xy≥4＋23.当且仅当yx＝3xy，即x＝2(3－1)，y＝2(3－3)时取等号．又x＋y＝4，所以1x＋3y≥1＋32，故1x＋3y的最小值为1＋32.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放