2019-2020学年新教材高中数学 第八章 立体几何初步 8.5.3 平面与平面平行课件 新人教A

8．5.3平面与平面平行第八章立体几何初步考点学习目标核心素养平面与平面平行的判定理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系直观想象、逻辑推理平面与平面平行的性质理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题直观想象、逻辑推理第八章立体几何初步预习教材P139－P142的内容，思考以下问题：1．面面平行的判定定理是什么？2．面面平行的性质定理是什么？问题导学1．平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的________________与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言________________________________________⇒β∥α图形语言两条相交直线a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α■名师点拨(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．2．平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线________符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒________图形语言平行a∥b■名师点拨(1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．(3)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．()(2)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.()(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．()×√×若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对答案：C下列命题正确的是()A．若直线a⊂平面α，直线a∥平面β，则α∥βB．若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则直线b∥平面αC．若直线a∥直线b，直线b⊂平面α，则直线a∥平面αD．若直线a与直线b是异面直线，直线a⊂α，则直线b有可能与α平行答案：D如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG.所以四边形EFGH的形状是平行四边形．答案：平行四边形平面与平面平行的判定如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.【证明】(1)因为B1B═∥DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD，又因为GF＝AD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，所以DF∥平面EB1D1.又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.[变条件]把本例(2)的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝14A1A”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD?解：当F满足CF＝14CC1时，两平面平行，下面给出证明：在D1D上取点M，且DM＝14DD1，连接AM，FM，则AE═∥D1M，从而四边形AMD1E是平行四边形．所以D1E∥AM.同理，FM═∥CD，又因为AB═∥CD，所以FM═∥AB，从而四边形FMAB是平行四边形．所以AM∥BF.即有D1E∥BF.又BF⊂平面FBD，D1E⊄平面FBD，所以D1E∥平面FBD.又B1B═∥D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形．故而B1D1∥BD，又BD⊂平面FBD，B1D1⊄平面FBD，从而B1D1∥平面FBD，又D1E∩B1D1＝D1，所以平面EB1D1∥平面FBD.证明面面平行的方法(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC，又因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC.面面平行性质定理的应用如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.【证明】如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.又P，N分别为AE，CD的中点，所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α.又M，P分别为AB，AE的中点，所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α.所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，所以平面MPN∥α.又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.1．[变条件]在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线段AB，CD上，且AMMB＝CNND，其他不变．证明：MN∥平面α.证明：作AE∥CD交α于点E，连接AC，BD，如图．因为α∥β且平面AEDC与平面α，β的交线分别为ED，AC，所以AC∥ED，所以四边形AEDC为平行四边形，作NP∥DE交AE于点P，连接MP，BE，于是CNND＝APPE.又因为AMMB＝CNND，所以AMMB＝APPE，所以MP∥BE.而BE⊂α，MP⊄α，所以MP∥α.同理PN∥α.又因为MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.2．[变条件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A，B，C和D，E，F，求证：ABBC＝DEEF.证明：连接AF交平面β于点M.连接MB，ME，BE，AD，CF，因为α∥β，所以ME∥AD.所以DEEF＝AMMF.同理，BM∥CF，所以ABBC＝AMMF，即ABBC＝DEEF.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤[提醒]面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．解：(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，所以PAAB＝PCCD，所以45＝3CD，所以CD＝154(cm)，所以PD＝PC＋CD＝274(cm)．平行关系的综合问题在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.【解】(1)证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD═∥B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接A1C，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．证明A1E＝EF＝FC的过程如下：因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.解决平行关系的综合问题的方法(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，因为MP∥BB1，所以CMMB1＝CPPB.因为BD＝B1C，DN＝CM，所以B1M＝BN，所以CMMB1＝DNNB，所以CPPB＝DNNB，所以NP∥CD∥AB.因为NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，所以NP∥平面AA1B1B.因为MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B.所以MP∥平面AA1B1B.又因为MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，所以平面MNP∥平面AA1B1B.因为MN⊂平面MNP，所以MN∥平面AA1B1B.1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是()A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交解析：选D.选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25B．4∶25C．2∶5D．4∶5解析：选B.因为平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，所以AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△A′B′C′∶S△ABC＝A′B′AB2＝PA′PA2＝425.3．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1