2019-2020学年新教材高中数学 第8章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积 课时作

课时作业26棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积知识对点练知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积1.某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为()A．180B．200C．220D．240答案D答案解析该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，所以底面面积为12×(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200.所以四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.解析2．正三棱锥的底面边长为a，高为66a，则此棱锥的侧面积等于()A．34a2B．32a2C．334a2D．332a2解析侧棱长为66a2＋33a2＝22a，斜高为22a2－a22＝a2，∴S侧＝12×3×a×a2＝34a2.解析答案A答案3．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．答案80＋4815答案解析如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，在Rt△B1FB中，BF＝12×(8－4)＝2，B1B＝8，故B1F＝82－22＝215，所以S梯形BB1C1C＝12×(8＋4)×215＝1215，故四棱台的侧面积S侧＝4×1215＝4815，所以四棱台的表面积S表＝4815＋4×4＋8×8＝80＋4815.解析知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积4.设正六棱锥(底面为正六边形，顶点在底面的正投影为底面中心)的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为()A．63B．3C．23D．2解析由正六棱锥的底面边长为1和侧棱长为5，可知高h＝2，又底面积S＝332，所以体积V＝13Sh＝13×332×2＝3.解析答案B答案5．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A．4B．143C．163D．6答案B答案解析由四棱台的三视图可知，台体上底面面积S1＝1×1＝1，下底面面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式得V＝13(S1＋S1S2＋S2)h＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.解析6．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.答案24答案解析由三视图可知原几何体如图所示．所以V＝VABC－A1B1C1－VM－ABC＝S△ABC·5－13S△ABC·3＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝30－6＝24(cm3)．解析课时综合练一、选择题1．将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A．6a2B．12a2C．18a2D．24a2解析棱长为a的正方体的表面积为S1＝6a2，由棱长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2＝27×6×a32＝18a2，因此表面积增加了12a2，故选B．解析答案B答案2．某几何体的三视图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为()A．20＋42B．24C．24＋42D．28答案A答案解析由三视图可知，该几何体的上部为一正四棱锥，下部为一正方体，正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方形，其边长为2，正四棱锥的高为1，所以此几何体的表面积为5×2×2＋4×12×2×2＝20＋42.解析3．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()A．112B．5C．92D．4答案D答案解析易知该几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面面积S底＝1×2＋12×2×1×2＝4，高为1，故此几何体的体积V＝4×1＝4.解析4．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示(单位：cm，图中水平线与竖线垂直)，则制作该工件用去的铁皮的面积为(制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计)()A．100(3＋5)cm2B．200(3＋5)cm2C．300(3＋5)cm2D．300cm2答案A答案解析由三视图可知，该几何体是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10cm，故底面面积为10×10＝100(cm2)，与底面垂直的两个侧面是全等的直角三角形，两直角边的长度分别为10cm，20cm，故它们的面积均为100cm2，另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的一边，长10cm，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为102＋202＝105(cm)，故此两侧面的面积均为505cm2，所以此四棱锥的表面积为S＝100(3＋5)cm2.解析5．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，该多面体的体积为()A．20B．202C．102D．10答案A答案解析连接EB，EC，四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝13×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴VF－EBC＝VC－EFB＝12VC－ABE＝12VE－ABC＝12×12VE－ABCD＝4.∴V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20.解析二、填空题6．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为________．答案(2＋2)a2答案解析正方体的棱长为22a，新几何体的上、下两个面的面积都是22a2，左、右两个面是正方形，面积均为22a2，前、后两个面为平行四边形，面积分别等于原几何体中前、后两个面的面积，都为22a2，所以此几何体的全面积为S全＝2×22a2＋4×22a2＝(2＋2)a2.解析7．已知正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心)底面正方形的边长为4cm，高与斜高夹角为30°，则斜高为________；侧面积为________；全面积为________．答案4cm32cm248cm2答案解析如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴斜高PE＝OEsin30°＝20.5＝4(cm)，∴S正四棱锥侧＝12×4×4×4＝32(cm2)，S正四棱锥全＝42＋32＝48(cm2)．解析8．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于棱C1C的平面A1B1EF，记平面将三棱台分成体积为V1(三棱柱A1B1C1－FEC)，V2的两部分，那么V1∶V2＝________.答案3∶4答案解析设三棱台的高为h，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，∴V台＝13h(S＋4S＋2S)＝73Sh，V1＝Sh，∴V1V2＝Sh73Sh－Sh＝34.解析三、解答题9．已知正四棱台上底面边长为4cm，侧棱和下底面边长都是8cm，求它的侧面积．解解法一：在侧面B1BCC1内作B1F⊥BC，E为BC的中点，E1为B1C1的中点，连接EE1，在Rt△B1FB中，答案设B1F＝h′，BF＝12(8－4)＝2(cm)，B1B＝8(cm)，∴B1F＝82－22＝215(cm)，∴斜高h′＝B1F＝215(cm)．∴S正四棱台侧＝4×12×(4＋8)×215＝4815(cm2)．答案解法二：延长正四棱台的侧棱交于点P，分别取BC，B1C1的中点E，E1，连接PE.如图设PB1＝xcm，则xx＋8＝48，得x＝8.答案∴PB1＝B1B＝8(cm)，∴E1为PE的中点，∴PE1＝82－22＝215(cm)，PE＝2PE1＝415(cm)．∴SABCD－A1B1C1D1侧＝SP－ABCD侧－SP－A1B1C1D1侧＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1＝4×12×8×415－4×12×4×215＝4815(cm2)．∴正四棱台的侧面积为4815cm2.答案10．如下图，已知某几何体的三视图如下图所示(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解(1)这个几何体的直观图如图所示．答案(2)这个几何体可看成是正方体ABCD－A1B1C1D1及直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝2，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积为S＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm2)，所求几何体的体积V＝23＋12×(2)2×2＝10(cm3)．答案本课结束