2019-2020学年新教材高中数学 第7章 三角函数 7.2 任意角的三角函数 7.2.4 诱导公

第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.4诱导公式第1课时诱导公式①、②、③、④2学习目标核心素养1.掌握诱导公式①、②、③、④，并会用公式求任意角的三角函数值．(重点)2.会用诱导公式①、②、③、④，进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明．(重点、难点)1.通过诱导公式①、②、③、④的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．2.借助诱导公式的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养.3自主预习探新知41.诱导公式①sin(α＋k·2π)＝；cos(α＋k·2π)＝；tan(α＋k·2π)＝.tanαsinαcosα52.诱导公式②sin(－α)＝；cos(－α)＝；tan(－α)＝.3.诱导公式③sin(π－α)＝sinα；cos(π－α)＝－cosα；tan(π－α)＝－tanα.－tanα－sinαcosα64．诱导公式④sin(π＋α)＝－sinα；cos(π＋α)＝－cosα；tan(π＋α)＝tanα.7思考：公式①、②、③、④该如何记忆？[提示]“函数名不变，符号看象限”81.sin(－30°)的值是()A．12B．－12C．32D．－32B[sin(－30°)＝－sin30°＝－12.]92.cos－174π－sin－174π＝________.2[cos－174π－sin－174π＝cos174π＋sin174π＝cos4π＋π4＋sin4π＋π4＝cosπ4＋sinπ4＝22＋22＝2]103.化简：cos－αtan7π＋αsinπ－α＝________.1[cos－αtan7π＋αsinπ－α＝cosαtanπ＋αsinα＝cosα·tanαsinα＝sinαsinα＝1.]11合作探究提素养12给角求值问题【例1】求下列各三角函数式的值．(1)cos210°；(2)sin114π；(3)sin－43π6；(4)cos(－1920°)．13[解](1)cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－32.(2)sin11π4＝sin2π＋3π4＝sin34π＝sinπ－π4＝sinπ4＝22.(3)sin－43π6＝－sin6π＋7π6＝－sin7π6＝－sinπ＋π6＝sinπ6＝12.(4)cos(－1920°)＝cos1920°＝cos(5×360°＋120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12.14利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：1“负化正”：用公式②或③来转化.2“大化小”：用公式①将角化为0°到360°间的角.3“小化锐”：用公式③或④将大于90°的角转化为锐角.4“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.151.求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°；(2)cos－31π6；(3)tan(－945°)．16[解](1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.17(2)法一：cos－31π6＝cos31π6＝cos4π＋7π6＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－32.法二：cos－31π6＝cos－6π＋5π6＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32.18(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.19给值(式)求值问题【例2】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)cos(180°－α)等于()A．m2－12B．m2＋12C．1－m22D．－m2＋12(2)已知cosπ6－α＝33，求cos56π＋α－sin2α－π6的值．20(1)A[sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sinα＋cosα＝m，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sinαcosα＝sinα＋cosα2－12＝m2－12.21(2)[解]∵cos56π＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33，sin2α－π6＝sin2－π6－α＝1－cos2π6－α＝1－332＝23，∴cos56π＋α－sin2α－π6＝－33－23＝－2＋33.221.解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．2.可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．232.已知sinβ＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为()A．1B．－1C．13D．－13D[∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sinβ＝－13.]24三角函数式的化简【例3】化简下列各式．(1)tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π－α；(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°.25[解](1)原式＝sin2π－αcos2π－α·sin－αcos－αcosπ－αsinπ－α＝－sinα－sinαcosαcosα－cosαsinα＝－sinαcosα＝－tanα.(2)原式＝1＋2sin360°－70°cos360°＋70°sin180°＋70°＋cos720°＋70°＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.26三角函数式的化简方法：1利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.2常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.3注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.273.化简下列各式．(1)cosπ＋α·sin2π＋αsin－α－π·cos－π－α；(2)cos190°·sin－210°cos－350°·tan－585°.28[解](1)原式＝－cosα·sinα－sinπ＋α·cosπ＋α＝cosα·sinαsinα·cosα＝1.(2)原式＝cos180°＋10°·[－sin180°＋30°]cos－360°＋10°·[－tan360°＋225°]＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan180°＋45°]＝－sin30°－tan45°＝12.291.诱导公式的记忆诱导公式①、②、③、④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．302.利用诱导公式，还可以得出如下公式sin(2π－α)＝－sinα；cos(2π－α)＝cosα；tan(2π－α)＝－tanα.31当堂达标固双基321.sin690°的值为()A．12B．32C．－12D．－32C[sin690°＝sin(720°－30°)＝－sin30°＝－12.]332.点P(cos2019°，sin2019°)落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[2019°＝6×360°－141°，∴cos2019°＝cos(－141°)＝cos141°0，sin2019°＝sin(－141°)＝－sin141°0，∴点P在第三象限．]343.已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是()A．－35B．35C．±35D．45B[sinα＝－45，又α是第四象限角，∴cos(α－2π)＝cosα＝1－sin2α＝35.]354.cos360°＋α·sin360°－αcos－α·sin－α的化简结果为________．1[原式＝cosα·sin－αcosα·sin－α＝1.]Thankyouforwatching!