2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 课时作业14

课时作业14正弦定理知识对点练知识点一已知两边及一边的对角解三角形1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B.59C.53D．1答案B答案解析由asinA＝bsinB，知313＝5sinB，即sinB＝59.故选B.解析2．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝________.答案3314答案解析由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA，即sinC＝ABsinABC＝5sin120°7＝5314.由题意可知C为锐角，∴cosC＝1－sin2C＝1114.∴sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝sin60°cosC－cos60°sinC＝3314.解析知识点二已知两角及一边解三角形3.一个三角形的两内角分别为45°与60°，如果45°角所对的边的长是6，那么60°角所对的边的长是()A．36B．32C．33D．26答案A答案解析设60°角所对的边的长为x，由6sin45°＝xsin60°，得x＝6sin60°sin45°＝6×3222＝36，故选A.解析4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，B＝45°，b＝22，则边c＝________.解析由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，由csinC＝bsinB，得c＝bsinCsinB＝22×1222＝2.解析答案2答案知识点三正弦定理的应用5.△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是()A．一解B．两解C．无解D．无法确定答案B答案解析∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c＝bsin30°bsinC，又cb，如图，∴此三角形有两解．解析6．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是()A．等腰三角形B.等边三角形C．直角三角形D.等腰直角三角形答案A答案解析由正弦定理，acosB＝bcosA⇒sinAcosB＝sinBcosA⇒sin(A－B)＝0，由于－πA－Bπ，故必有A－B＝0，即△ABC为等腰三角形.解析知识点四正弦定理与余弦定理的综合应用7.在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.1010B.105C.31010D.55答案C答案解析由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosπ4＝2＋9－2×2×3×22＝5.∴AC＝5.由正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，所以sinA＝BCsinBAC＝3×225＝31010.解析8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b·cosA＝ccosA＋acosC.(1)求角A的大小；(2)若a＝7，b＋c＝4，求bc的值．解(1)由正弦定理，2bcosA＝ccosA＋acosC⇒2cosAsinB＝cosAsinC＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，∵sinB≠0，∴cosA＝12，∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.(2)由余弦定理，得7＝a2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，把b＋c＝4代入，得bc＝3.答案易错点一忽视三角形中的边角关系9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．±63B.223C．－63D.63易错分析本题在求出sinB＝33后，对cosB的符号判断不清，误选A或C.答案D正解根据正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝33，又a＞b，所以角B为锐角，所以cosB＝63.故选D.答案10．在△ABC中，已知a＝23，b＝2，A＝60°，则B＝________.易错分析(1)由sinB＝12，得B＝30°或150°，而忽视b＝2a＝23，从而易出错．(2)在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍．答案30°正解由正弦定理，得sinB＝b×sinAa＝2×sin60°23＝12.∵0°B180°，∴B＝30°或B＝150°.∵ba，根据三角形中大边对大角可知BA，∴B＝150°不符合条件，应舍去，∴B＝30°.答案易错点二解三角形时忽略对角的讨论11.已知在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求角A，C和边c.易错分析本题易出现求出角A的正弦值后默认A为锐角，从而漏解A＝120°的情况．正解由正弦定理asinA＝bsinB，得3sinA＝2sin45°，∴sinA＝32，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°.∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64，∴c＝bsinCsinB＝6＋22.当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°.答案∵sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6－24，∴c＝bsinCsinB＝6－22.∴A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.答案课时综合练一、选择题1．在钝角三角形ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则角A的大小为()A．120°B．45°C．30°D．15°答案C答案解析由于ABsinC＝ACsinB，将AB＝3，AC＝1，B＝30°代入，求得sinC＝32.又由△ABC是钝角三角形，知C＝120°，所以A＝30°.故选C.解析2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()A.6B．2C.3D.2解析由正弦定理，得bsinB＝csinC，∴sinC＝csinBb＝12.又cb，∴C为锐角，∴C＝30°，∴A＝180°－120°－30°＝30°，∴△ABC为等腰三角形，∴a＝2.故选D.解析答案D答案3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定答案C答案解析由正弦定理bsinB＝csinC，得sinB＝bsinCc＝40×3220＝31.∴B不存在．即满足条件的三角形不存在．解析4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形答案D答案解析由a2b2＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2及余弦定理，得a2b2＝2accosB2bccosA，即ab＝cosBcosA，所以由正弦定理，得sinAsinB＝cosBcosA，所以有sin2A＝sin2B，从而2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2.故选D.解析5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若C＝120°，c＝3a，则()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定答案C答案解析由正弦定理可得asinA＝csinC＝3a32＝2a.所以sinA＝12，又显然A为锐角，可得A＝30°.所以B＝180°－A－C＝30°，所以a＝b.故选C.解析二、填空题6．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则2sinA－sinBsinC＝________.解析设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k0)，由正弦定理，得2sinA－sinBsinC＝2×4k－3k5k＝1.解析答案1答案7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝75°，B＝45°，c＝32，则边b的值为________．解析因为A＝75°，B＝45°，所以C＝60°，由正弦定理可得b＝csinBsinC＝32×2232＝23.解析答案23答案8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC＝(3a－c)cosB.若BC→·BA→＝4，则ac的值为________．解析由正弦定理，得sinBcosC＝(3sinA－sinC)cosB.化简，得cosB＝13.又∵BC→·BA→＝accosB＝4，∴ac＝4cosB＝12.解析答案12答案三、解答题9．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．解∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.由asinA＝csinC，得a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.由bsinB＝csinC，得b＝csinBsinC＝10×sin105°sin30°＝20sin75°.∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64，∴b＝20×2＋64＝52＋56.答案10．在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．解(1)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理，得3sinA＝26sin2A，所以2sinAcosAsinA＝263，故cosA＝63.答案(2)由(1)，知cosA＝63，所以sinA＝1－cos2A＝33.又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝13.所以sinB＝1－cos2B＝223，在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝539.所以c＝asinCsinA＝5.答案本课结束