2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 课时作业12

课时作业12向量在物理中的应用举例知识对点练知识点一向量在力学中的应用1.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么|F1|等于()A．53NB．5NC．10ND．52N答案B答案解析如图，由题意，得四边形OABC是矩形，∵∠AOB＝60°，∴|F1|＝|F合|cos60°＝10×12＝5(N)．故选B.解析2．若物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体所做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．2解析W＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5，2lg2)·(2lg5，1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D.解析答案D答案3．如图，用两条绳提一个物体，每条绳用力5N，两绳夹角为60°，则物体所受的重力为()A．5NB．53NC．52ND．10N答案B答案解析物体所受的重力＝|F1|cos30°＋|F2|cos30°＝5×32＋5×32＝53(N)．解析4．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出所有正确的序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．答案①③答案解析设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ0θπ2.则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝|f|cosθ.∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大．∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．解析5．如下图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解如图，由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角．答案设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|Fa|cos45°＋|Fb|cos60°＝G＝100，①且|Fa|sin45°＝|Fb|sin60°，②由①②解得|Fa|＝1502－506，∴A处所受力的大小为(1502－506)N.答案知识点二用向量解决速度问题6.一条河的宽度为d，一只船从A出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，则船行到B处时，行驶速度的大小为()A．v21－v22B．|v1|2－|v2|2C.v21＋v22D.|v1|2－|v2|2答案D答案解析如图，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，可得|v|2＝|v1|2－|v2|2.解析7．一条两岸平行的河流，水速为1m/s，小船的速度为2m/s，为使所走路程最短，小船应朝________的方向行驶．答案与水速成120°角答案解析如图，为使小船所走路程最短，v水＋v船应与岸垂直．又|v水|＝|AB→|＝1，|v船|＝|AC→|＝2，∠ADC＝90°，所以∠CAD＝30°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶．解析8．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．解如图，用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直方向的速度．则v0＋v1表示船实际航行的速度，∵|v0|＝4，|v1|＝8，∴解直角三角形得|v0＋v1|＝42＋82＝45.故船实际航行的速度为45千米/时．答案课时综合练一、选择题1．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度的大小为40m/s，则鹰的飞行速度的大小为()A.803m/sB.4033m/sC.8033m/sD.403m/s答案C答案解析设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝|v2|32＝8033(m/s)．故选C.解析2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40NB．102NC．202ND．103N答案B答案解析|F1|＝|F2|＝|F合|cos45°＝102，当θ＝120°时，由平行四边形法则知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝102N，故选B.解析3．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为()A．(－2,4)B．(－30,25)C．(10，－5)D．(5，－10)答案C答案解析由题意知，P0P→＝5v＝(20，－15)，设点P的坐标为(x，y)，则x＋10＝20，y－10＝－15，解得点P的坐标为(10，－5)．故选C.解析4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为()A．2B．3C．4D．8答案B答案解析∵|v|＝12＋22＝5，|AB→|＝7－42＋12－62＝35，∴时间t＝355＝3.解析5．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为()A．(9,1)B．(1,9)C．(9,0)D．(0,9)答案A答案解析f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力f的终点为P(x，y)，O为坐标原点，则OP→＝OA→＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)，故选A.解析二、填空题6．如图，两根固定的光滑硬杆OA，OB成θ角，在杆上各套一小环P，Q，P，Q用轻线相连，现用恒力F沿OB→方向拉环Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为________．答案|F|sinθ答案解析设Q受轻线的拉力为T，以Q为研究对象，由于受力平衡，故轻线与杆垂直，即轻线与OB的夹角为π2－θ，Tcosπ2－θ＝F，故|T|＝|F|sinθ.解析7．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为________m/s.答案226答案解析设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝v2－2v·v1＋v21＝226(m/s)．解析8．如图所示，在倾斜角为37°(sin37°≈0.6)，高为2m的斜面上，质量为5kg的物体m沿斜面下滑至底部，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝9.8m/s2)．答案098答案解析物体m的位移大小为|s|＝2sin37°＝103(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|·cos53°＝5×9.8×103×0.6＝98(J)．解析三、解答题9．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知|F1|＝2N，方向为北偏东30°，|F2|＝4N，方向为北偏东60°，|F3|＝6N，方向为北偏西30°，求这三个力的合力F所做的功．解以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示．由已知可得F1＝(1，3)，F2＝(23，2)，F3＝(－3，33)．所以F＝F1＋F2＋F3＝(23－2,43＋2)．又位移s＝(42，42)，所以F·s＝(23－2)×42＋(43＋2)×42＝246(J)．故这三个力的合力F所做的功是246J.答案10．某人在一条河中游泳，河水的流速为3km/h，此人在静水中游泳的速度为4km/h.(1)如果他径直游向河对岸，他实际是沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？解(1)如图，设水流速度为OA→，此人游泳的速度为OB→，以OA→，OB→为邻边作矩形OACB，则此人实际的速度为OC→＝OA→＋OB→.由|OA→|＝3，|OB→|＝4，及勾股定理，得|OC→|＝5，且在Rt△OAC中，∠AOC≈53°8′.故此人实际是沿与水流方向的夹角为53°8′的方向前进的，速度大小为5km/h.答案(2)如图，设水流速度为OA→，实际游泳的速度为OC→，实际前进的速度为OB→，则OA→＋OC→＝OB→，∴四边形OABC为平行四边形．据题意，知OB→⊥OA→，|OA→|＝3，|OC→|＝4，答案则在Rt△AOB中，|OB→|＝42－32＝7.cos∠BAO＝34，∴∠BAO≈41°25′.故此人应沿与河岸的夹角为41°25′且逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为7km/h.答案本课结束