2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 课时作业11

课时作业11平面几何中的向量方法知识对点练知识点一平行、垂直的问题1.已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是()A．A，B，C三点共线B.AB→⊥BC→C．A，B，C是锐角三角形的顶点D．A，B，C是钝角三角形的顶点答案D答案解析∵BC→＝(－2,0)，AC→＝(2,4)，∴BC→·AC→＝－40，∴∠C是钝角．故选D.解析2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案B答案解析因为|OB→－OC→|＝|CB→|＝|AB→－AC→|，|OB→＋OC→－2OA→|＝|AB→＋AC→|，所以|AB→－AC→|＝|AB→＋AC→|，则AB→·AC→＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形，故选B.解析3．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式不成立的是()A．|AC→|2＝AC→·AB→B．|BC→|2＝BA→·BC→C．|AB→|2＝AC→·CD→D．|CD→|2＝AC→·AB→×BA→·BC→|AB→|2答案C答案解析AC→·AB→＝AC→·(AC→＋CB→)＝AC→2＋AC→·CB→＝AC→2＝|AC→|2，A正确；同理|BC→|2＝BA→·BC→成立，B正确；AC→·AB→×BA→·BC→|AB→|2＝|AC→|2×|BC→|2|AB→|2＝|AC→|×|BC→||AB→|2＝|CD→|2，D正确．故选C.解析4．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为()A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0答案A答案解析设P(x，y)为直线上一点，则AP→＝(x－2，y－3)．依题意有AP→⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0.故选A.解析5．如图，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PFCE是矩形．试用向量法证明：AP⊥EF.证明以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，答案设正方形的边长为1，P(m，m)，依题意，得E(1，m)，F(m，0)，A(0,1)，于是AP→＝(m，m－1)，EF→＝(m－1，－m)，则AP→·EF→＝m(m－1)－(m－1)m＝0，所以AP→⊥EF→，即AP⊥EF.答案知识点二长度和夹角的问题6.在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是()A．25B.552C．35D.752答案B答案解析BC的中点为D32，6，AD→＝－52，5，∴|AD→|＝552.解析7．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A，B重合)，求证：∠APB＝90°(用向量法证明)．证明如图，连接OP，设向量OA→＝a，OP→＝b，则OB→＝－a，且PA→＝OA→－OP→＝a－b，PB→＝OB→－OP→＝－a－b.∴PA→·PB→＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，∴PA→⊥PB→，即∠APB＝90°.答案8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝12DC.求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．解(1)设AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b.∴|AD→|2＝AD→2＝23a＋13b2＝49a2＋2×29a·b＋19b2＝49×9＋2×29×3×3×cos120°＋19×9＝3.∴AD＝3.答案(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量AD→与AC→的夹角．∴cosθ＝AD→·AC→|AD→||AC→|＝23a＋13b·b3×3＝13b2＋23a·b33＝13×9＋23×3×3×－1233＝0.∴θ＝90°.即∠DAC＝90°.答案9．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于点F，连接DF.求证：∠ADB＝∠FDC.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则点D(0,1)．于是AD→＝(－2,1)，AC→＝(－2,2)．设F(x，y)．答案由BF→⊥AD→，得BF→·AD→＝0，即(x，y)·(－2,1)＝0，∴－2x＋y＝0.①又F点在AC上，则FC→∥AC→.而FC→＝(－x,2－y)，因此，2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，即x＋y＝2.②由①②式解得x＝23，y＝43，∴F23，43，DF→＝23，13，DC→＝(0,1)，答案故DF→·DC→＝13.又DF→·DC→＝|DF→||DC→|cosθ＝53cosθ，∴cosθ＝55，即cos∠FDC＝55，又cos∠ADB＝|BD→||AD→|＝15＝55，∴cos∠ADB＝cos∠FDC，故∠ADB＝∠FDC.答案课时综合练一、选择题1．若a＝(1,2)，b＝(x,1)，且a＋2b与2a－b平行，则x等于()A．2B．1C.12D.13解析∵a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)，a＋2b与2a－b平行，∴8－4x－3－6x＝0，解得x＝12.解析答案C答案2．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝5，AC→·AB→＝5，则AC的长为()A．1B．2C．3D．4解析因为BD→＝AD→－AB→＝12AC→－AB→，所以BD→2＝12AC→－AB→2＝14AC→2－AC→·AB→＋AB→2，即14AC→2＝1，所以|AC→|＝2，即AC＝2.解析答案B答案3．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA→＋OB→＋CO→＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°答案A答案解析由OA→＋OB→＋CO→＝0，得OA→＝OC→－OB→，两边平方得OA→2＝OC→2＋OB→2－2OC→·OB→，由于|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，则|OB→|2＝2|OC→|·|OB→|cos〈OB→，OC→〉，所以cos〈OB→，OC→〉＝12，则∠BOC＝60°，所以∠A＝12∠BOC＝30°，故选A.解析4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，则AD的长所在区间为()A．(2,3)B．(3,4)C．(4,5)D．(5,6)答案C答案解析AD→＝AB→＋BC→＋CD→，其中AB→与BC→的夹角为60°，BC→与CD→的夹角为30°，AB→与CD→的夹角为90°，则|AD→|2＝(AB→＋BC→＋CD→)2＝|AB→|2＋|BC→|2＋|CD→|2＋2AB→·BC→＋2BC→·CD→＋2AB→·CD→＝9＋1＋4＋2×3×1×12＋2×1×2×32＋0＝17＋23∈(16,25)，所以|AD→|∈(4,5)．故选C.解析5．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝()A．2B．4C．5D．10答案D答案解析将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝PA→2＋PB→2PC→2＝PC→＋CA→2＋PC→＋CB→2PC→2＝2|PC→|2＋2PC→·CA→＋CB→＋AB→2|PC→|2＝|AB→|2|PC→|2－6＝42－6＝10.解析二、填空题6．已知向量a＝(6,2)，b＝－4，12，直线l过点A(3，－1)且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．答案2x－3y－9＝0答案解析a＋2b＝(6,2)＋2－4，12＝(－2,3)．设P(x，y)为所求直线l上任意一点，则AP→＝(x－3，y＋1)．∵AP→·(a＋2b)＝0，∴－2(x－3)＋3(y＋1)＝0，整理得2x－3y－9＝0.∴2x－3y－9＝0即为所求直线方程．解析7．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足AP→＝15AC→＋25AB→，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．答案1∶2答案解析由题意，得5AP→＝AC→＋2AB→，得2AP→－2AB→＝AC→－AP→－2AP→，得－2(PA→＋PB→)＝PC→，如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB，则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则PC→＝2EP→＝4OP→.所以S△APBS△APC＝2S△APOS△APC＝2|OP||PC|＝12.解析8．如图所示，已知O为坐标原点，点A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则AC和OB的交点P的坐标为________．答案32，32答案解析设OP→＝tOB→＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP→＝OP→－OA→＝(4t－3,4t)，AC→＝(2,1)－(3,0)＝(－1,1)．由AP→，AC→共线，得(4t－3)×1－4t×(－1)＝0，解得t＝38.∴OP→＝(4t,4t)＝32，32，∴点P的坐标为32，32.解析三、解答题9．如图，已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值．解(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3)．∴AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AD→，∴AB⊥AD.(2)∵AB→⊥AD→，四边形ABCD为矩形，∴AB→＝DC→.设点C的坐标为(x，y)，则DC→＝(x＋1，y－4)．答案又∵AB→＝(1,1)，∴x＋1＝1，y－4＝1，解得x＝0，y＝5.∴点C的坐标为(0,5)．∴AC→＝(－2,4)．又BD→＝(－4,2)，∴|AC→|＝25，|BD→|＝25，AC→·BD→＝8＋8＝16.设AC→与BD→的夹角为θ，则cosθ＝AC→·BD→|AC→||BD→|＝1625×25＝45.故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.答案10．如图所示，正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.证明设PD→＝λCD→，并设△ABC的边长为a，则PA→＝PD→＋DA→＝λCD→＋13BA→＝λ23BA→－BC→＋13BA→＝13(2λ＋1)BA→－λBC→，又EA→＝BA→－13BC→.∵PA→∥EA→，答案∴13(2λ＋1)BA→－λBC→＝kBA→－13kBC→.于是有132λ＋1＝k，λ＝13k.解得λ＝17.∴PD→＝17CD→.∴BP→＝BC→＋CP→＝BC→＋67CD→＝BC→＋67(BD→－BC→)答案＝17BC→＋47BA→，又∵CD→＝23BA→－BC→，从而BP→·CD→＝17BC→＋47BA→·23BA→－BC→＝821a2－17a2－1021a2cos60°＝0.∴BP→⊥CD→.∴BP⊥DC.答案本课结束