2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示

课时作业8平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示知识对点练知识点一平面向量的正交分解及坐标表示1.给出下列几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4答案C答案解析由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．解析2．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.答案(－4,0)(0,6)(－2，－5)答案解析解法一：将各向量向基底所在直线分解．a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．解法二：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a＝(－6,2)－(－2,2)＝(－4,0)；b＝(2,6)－(2,0)＝(0,6)；c＝(－3，－6)－(－1，－1)＝(－2，－5)．解析3．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．①OA→＝2i＋3j；②OB→＝3i＋4j；③AB→＝－5i＋j；④BA→＝5i－j.答案①③④答案解析i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA→＝2i＋3j，OB→＝－3i＋4j，AB→＝OB→－OA→＝－5i＋j，BA→＝OA→－OB→＝5i－j，故①③④正确.解析知识点二平面向量加、减运算的坐标表示4.如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则AB→可以表示为()A．2i＋3jB．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋j答案C答案解析记O为坐标原点，则OA→＝2i＋3j，OB→＝4i＋2j，所以AB→＝OB→－OA→＝2i－j.解析5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→等于()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3,5)D．(2,4)解析∵AC→＝AB→＋AD→，∴AD→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，∴BD→＝AD→－AB→＝(－3，－5)，故选B.解析答案B答案知识点三平面向量加、减坐标运算的应用6.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且OA→＝4i＋2j，OB→＝3i＋4j，OC→＝AB→，则C点的坐标为()A．(－2,1)B．(1，－2)C．(2，－1)D．(－1,2)答案D答案解析由题意可知A(4,2)，B(3,4)，AB→＝OB→－OA→＝－i＋2j.∵OC→＝AB→，∴OC→＝－i＋2j，∴C(－1,2)．解析7．已知平面上三个点的坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．解设点D的坐标为(x，y)，①当平行四边形为ABCD时，AB→＝DC→，∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，∴1－x＝1，－2－y＝－1，∴x＝0，y＝－1.∴D(0，－1)；②当平行四边形为ABDC时，同①可得D(2，－3)；③当平行四边形为ADBC时，同①可得D(6,15)．综上所述，点D的坐标可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．答案课时综合练一、选择题1．已知MA→＝(－2,4)，MB→＝(2,6)，则AB→＝()A．(0,5)B．(4,2)C．(2,5)D．(2,1)解析AB→＝MB→－MA→＝(2,6)－(－2,4)＝(4,2)，故选B.解析答案B答案2．已知AB→＝(－2,4)，则下面说法正确的是()A．A点的坐标是(－2,4)B．B点的坐标是(－2,4)C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)答案D答案解析由任一向量的坐标的定义可知，当A点是原点时，B点的坐标是(－2,4)．解析3．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB→相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x的值为()A．－1B．－1或4C．4D．1或－4解析AB→＝(2,0)，由于向量a与AB→相等，所以x＋3＝2，x2－3x－4＝0，解得x＝－1.解析答案A答案4．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)答案A答案解析设C(x，y)，∵A(0,1)，AC→＝(－4，－3)，∴x＝－4，y－1＝－3，解得x＝－4，y＝－2，∴C(－4，－2)，又B(3,2)，∴BC→＝(－7，－4)．解析5．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．解析答案C答案二、填空题6．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量a用坐标表示为________．解析不妨设i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)．解析答案(1，－2)答案7．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA→|＝43，∠xOA＝60°，则OA→的坐标为________．解析设点A(x，y)，则x＝|OA→|cos60°＝43cos60°＝23.y＝|OA→|sin60°＝43sin60°＝6.即A(23，6)，∴OA→＝(23，6)．解析答案(23，6)答案8．如图，在正方形ABCD中，O为中心，且OA→＝(－1，－1)，则OB→＝________；OC→＝________；OD→＝________.答案(1，－1)(1,1)(－1,1)答案解析根据题意，知点A与点B关于y轴对称，与点C关于原点对称，与点D关于x轴对称，又OA→＝(－1，－1)，O为坐标原点，∴A(－1，－1)，∴B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)，∴OB→＝(1，－1)，OC→＝(1,1)，OD→＝(－1,1)．解析三、解答题9．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a和b.解设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有m＋p＝2，n＋q＝－8，m－p＝－8，n－q＝16，解得m＝－3，n＝4，p＝5，q＝－12.所以a＝(－3,4)，b＝(5，－12)．答案10．已知点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)．在平面直角坐标系中，分别作出向量AC→，BD→，EF→，并求向量AC→，BD→，EF→的坐标．解如图，描出点A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5，6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)，分别作出向量AC→，BD→，EF→.答案易知AC→＝(2,4)，BD→＝(－3,4)，EF→＝(－3，－4)．答案本课结束