2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 课时作业5

课时作业5向量的数量积(1)知识对点练知识点一向量夹角的概念1.已知|a|＝|b|＝3，且a与b的夹角为80°，则a＋b与a－b的夹角是________．答案90°答案解析如图，作向量OA→＝a，OB→＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形，则四边形OACB为菱形．∵OC→＝a＋b，BA→＝OA→－OB→＝a－b，OC→⊥BA→，∴a＋b与a－b的夹角为90°.解析2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，|AB→|＝3，|CB→|＝1，则AC→与CB→的夹角θ＝________.答案120°答案解析在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，CB＝1，所以tan∠ACB＝ABCB＝3，所以∠ACB＝60°，即CB→与CA→的夹角为60°，所以AC→与CB→的夹角为120°.解析知识点二平面向量数量积的定义3.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于()A.12B.32C．1＋32D．2解析a·b＝|a||b|cos60°＝1×1×12＝12.解析答案A答案4．已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.解析由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝12，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22＝3－2×12－8＝－6.解析答案－6答案知识点三投影向量5.已知等边△ABC的边长为2，则向量AB→在向量CA→方向上的投影向量为()A．－12CA→B.12CA→C．2AC→D．2CA→答案A答案解析在等边△ABC中，∵∠A＝60°，∴向量AB→在向量AC→方向上的投影向量为12AC→，∴向量AB→在向量CA→方向上的投影向量为－12CA→.故选A.解析6．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，记向量a在向量b方向上的投影向量为γ，则|γ|＝()A．4B．3C．2D．1答案D答案解析设向量a与向量b的夹角为θ，与b方向相同的单位向量为e，则a在b方向上的投影向量γ＝|a|cosθ·e，则|γ|＝||a|cosθ|＝|2×cos120°|＝1，故选D.解析7．已知|a|＝4，e为单位向量，a与e的夹角为2π3，则e在a方向上的投影向量的模为________．解析∵a与e的夹角θ＝2π3，∴e在a方向上的投影向量的模为||e|·cosθ|＝12.解析答案12答案知识点四平面向量数量积的性质及运算律8.给出以下结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C答案解析①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；|a·b|＝|a|b||cosθ|，a·b＝|a||b|cosθ，有|a·b|≥a·b，故⑤错误．解析9．若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的值不可能是()A．0B.12C．2D．3解析由向量内积性质知|a·b|≤|a||b|＝2.故选D.解析答案D答案10．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→·CA→＝4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值是________．答案78答案解析设BD→＝a，DF→＝b，则BA→·CA→＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，BF→·CF→＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝138，|b|2＝58，则BE→·CE→＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝78.知识点五平面向量数量积的应用11.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12解析∵a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝6.故选C.解析答案C答案12．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3BD→，|AD→|＝1，则AC→·AD→＝()A．23B.32C.33D.3答案D答案解析设|BD→|＝x，则|BC→|＝3x，AC→·AD→＝(AB→＋BC→)·AD→＝BC→·AD→＝|BC→||AD→|cos∠ADB＝3x·1·1x＝3.解析13．设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4.若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝()A．20B．15C．9D．6答案C答案解析如图所示，由题设知：AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋34AD→，NM→＝13AB→－14AD→，解析所以AM→·NM→＝AB→＋34AD→·13AB→－14AD→＝13|AB→|2－316|AD→|2＋14AB→·AD→－14AB→·AD→＝13×36－316×16＝9.解析易错点求夹角时忽略向量的方向致误14.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量b与c的夹角为________．易错分析本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B即为向量b与c的夹角．答案150°答案正解由题意画出图形，如图，因为a，b的夹角为120°，所以∠CAB＝60°，又|b|＝2|a|，所以∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°，则b与c的夹角为150°.答案课时综合练一、选择题1．向量a的模为10，它与向量b的夹角为150°，则它在b方向上的投影向量的模为()A．－53B．5C．－5D．53解析a在b方向上的投影向量的模为||a|·cos150°|＝53.解析答案D答案2．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则AB→·BC→的值为()A．1B．－1C．2D．－2解析AB→·BC→＝AB→·(AC→－AB→)＝AB→·AC→－AB→2＝－|AB→|2＝－1.解析答案B答案3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于()A.32B．－32C．±32D．1答案A答案解析∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.故选A.解析4．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中为正确命题的是()A．①②B．①③C．②③D．③答案D答案解析(a·b)·c表示与向量c共线的向量，(c·a)·b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0，即(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，故②错误；显然③正确．解析5．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2答案B答案解析设向量a，b的夹角为θ，∵|a·b|＝|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，∴A正确；∵当向量a，b反向时，|a－b|≥||a|－|b||，∴B错误；由向量的平方等于向量模的平方可知C正确；根据向量的运算法则，可推导出(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，故D正确．解析二、填空题6．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影向量的模长为2，则|a|＝________.解析因为||a|·cos120°|＝2，所以12|a|＝2，所以|a|＝4.解析答案4答案7．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.解析AB→＝AM→－BM→＝AM→－12BC→，AC→＝AM→＋MC→＝AM→＋12BC→，∴AB→·AC→＝AM→－12BC→·AM→＋12BC→＝AM→2－14BC→2＝9－14×100＝－16.解析答案－16答案8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3，则实数λ＝________.解析由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcosπ3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.解析答案－8或5答案三、解答题9．(1)已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求AB→·BC→.解(1)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝3×6×1＝18.若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，答案∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18.②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0.③当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×12＝9.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，故BC＝3，且cos∠ABC＝35，AB→与BC→的夹角θ＝180°－∠ABC，∴AB→·BC→＝－|AB→||BC→|cos∠ABC＝－5×3×35＝－9.答案10．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝3|a－kb|(k0)．(1)a与b能垂直吗？(2)若a与b的夹角为60°，求k的值．解(1)因为|ka＋b|＝3|a－kb|，所以(ka＋b)2＝3(a－kb)2，又因为|a|＝|b|＝1，所以k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)，所以a·b＝k2＋14k.因为k2＋1≠0，所以a·b≠0，即a与b不垂直．答案(2)因为a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos60°＝12.所以k2＋14k＝12.所以k＝1.答案本课结束