2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 课时作业4

课时作业4向量的数乘运算知识对点练知识点一向量数乘运算的概念及运算律1.已知λ∈R，则下列结论正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|·aC．|λa|＝|λ|·|a|D．|λa|0答案C答案解析当λ0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.解析2．若a，b为已知向量，且23(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.答案1213b－839a答案解析∵23(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，∴83a－2c＋15c－12b＝0，∴13c＝12b－83a，∴c＝1213b－839a.解析3．化简下列各式：(1)3(2a－b)－2(4a－2b)；(2)13(4a＋3b)－12(3a－b)－32b；(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．解(1)原式＝6a－3b－(8a－4b)＝－2a＋b.(2)原式＝43a＋b－32a＋12b－32b＝－16a.(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝－11b＋11c.答案知识点二向量的线性运算4.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝()A.13B.23C.12D.34答案B答案解析由AD→＝2DB→，得CD→－CA→＝2(CB→－CD→)⇒CD→＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23.解析5．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB.如果OA→＝3e1，OB→＝3e2，那么OD→等于()A．e1＋2e2B．2e1＋e2C.23e1＋13e2D.13e1＋23e2答案A答案解析如图所示，OD→＝OA→＋AD→＝OA→＋23AB→＝OA→＋23(OB→－OA→)＝13OA→＋23OB→＝e1＋2e2，应选A.解析6．已知点C在线段AB上，且ACCB＝12，则AC→＝____AB→.答案13答案解析如图，因为ACCB＝12，且点C在线段AB上，则AC→与CB→同向，且|AC→|＝12|CB→|，故AC→＝13AB→.解析7．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若AB→＝a，AD→＝b，试用a，b表示向量AC→.解因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以AB→＝3DC→，DC→＝13AB→＝13a，所以AC→＝AD→＋DC→＝b＋13a.答案知识点三共线问题8.设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？解d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.由2λ＋2μ＝2k，－3λ＋3μ＝－9k，得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ.答案9．已知：AD→＝3AB→，AE→＝3AC→，且B，C，D，E不共线．求证：BC∥DE.证明∵AD→＝3AB→，AE→＝3AC→，∴DE→＝AE→－AD→＝3AC→－3AB→＝3(AC→－AB→)＝3BC→.∴BC→与DE→共线．又∵B，C，D，E不共线．∴BC∥DE.答案证明∵AD→＝3AB→，AE→＝3AC→，∴DE→＝AE→－AD→＝3AC→－3AB→＝3(AC→－AB→)＝3BC→.∴BC→与DE→共线．又∵B，C，D，E不共线．∴BC∥DE.答案易错点用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误10．在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝AB→，b＝AC→，用向量a，b表示AD→＝________.易错分析本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有BD→＝13BC→或BD→＝23BC→.解题时条件转化要全面准确．答案13a＋23b或23a＋13b正解因为D为BC的三等分点，当BD＝13BC时，如图1，所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)答案＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b.当BD＝23BC时，如图2，答案所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝13AB→＋23AC→＝13a＋23b.答案课时综合练一、选择题1．给出下面四个结论：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb(m∈R)，则a＝b；④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n.其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4答案C答案解析①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确；④正确，因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又因为a≠0，所以m－n＝0，即m＝n.解析2．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中AB→＝a，CD→＝b.A．①②B．①③C．②D．③④答案A答案解析由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．解析3．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于()A.rRB．－rRC．－RrD.Rr答案C答案解析∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－Rr.解析4．已知P是△ABC所在平面内一点，若CB→＝λPA→＋PB→，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上答案B答案解析因为CB→＝λPA→＋PB→⇔CB→－PB→＝λPA→⇔CP→＝λPA→，所以点P在AC边所在的直线上，故选B.解析5．已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案B答案解析AB→|AB→|为AB→上的单位向量，AC→|AC→|为AC→上的单位向量，则AB→|AB→|＋AC→|AC→|的方向为∠BAC的角平分线AD→的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λAB→|AB→|＋AC→|AC→|的方向与AB→|AB→|＋AC→|AC→|的方向相同，而OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，∴点P在AD→上移动．∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.解析二、填空题6．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为________．答案1答案解析由于c与d同向，所以可设c＝kd(k0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以λ＝k，2λk－k＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k0，所以λ0，故λ＝1.解析7．已知两个不共线向量e1，e2，且AB→＝e1＋λe2，BC→＝3e1＋4e2，CD→＝2e1－7e2，若A，B，D三点共线，则λ的值为________．答案－35答案解析由BC→＝3e1＋4e2，CD→＝2e1－7e2，得BD→＝BC→＋CD→＝5e1－3e2，又AB→＝e1＋λe2，且A，B，D三点共线，所以存在实数μ，使得AB→＝μBD→，即e1＋λe2＝μ(5e1－3e2)，又e1，e2不共线，所以5μ＝1，－3μ＝λ，所以λ＝－35.解析8．在平行四边形ABCD中，AB→＝e1，AC→＝e2，NC→＝14AC→，BM→＝12MC→，则MN→＝________(用e1，e2表示)．答案－23e1＋512e2答案解析∵NC→＝14AC→＝14e2，∴CN→＝－14e2.∵BM→＝12MC→，BM→＋MC→＝BC→＝AC→－AB→＝e2－e1，∴MC→＝23BC→＝23(e2－e1)，∴MN→＝MC→＋CN→＝23(e2－e1)－14e2＝－23e1＋512e2.解析三、解答题9．(1)化简下列各式：①2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；②16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]；(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.解(1)①原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.②原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)＝－2a＋4b.(2)把已知中的两个等式看作关于m，n的方程，联立得方程组3m＋2n＝a，m－3n＝b，解得m＝311a＋211b，n＝111a－311b.答案10．设O是△ABC内部一点，且OA→＋OC→＝－3OB→，求△AOB与△AOC的面积之比．解如图，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，由平行四边形法则，知OA→＋OC→＝OD→，其中E为AC的中点．答案所以OA→＋OC→＝2OE→＝－3OB→.所以OB→＝－23OE→，所以OB→，OE→共线，|OB→|＝23|OE→|.设点A到BD的距离为h，则S△AOB＝12|OB→|·h，S△AOC＝2S△AOE＝|OE→|·h.所以S△AOBS△AOC＝12|OB→|·h|OE→|·h＝12·|OB→||OE→|＝12×23＝13.答案本课结束