2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 课时作业1

课时作业1平面向量的概念知识对点练知识点一平面向量的概念1.下列说法正确的是()A．实数可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小C．向量的模是正数D．向量的模可以比较大小答案D答案解析对于A，数量可以比较大小，但向量是矢量，不能比较大小，A错误；对于B，向量是矢量，不能比较大小，B错误；对于C，零向量的模为0,0不是正数，C错误；对于D，向量的模长是数量，可以比较大小，故选D.解析2．有下列说法：①位移和速度都是向量；②若向量AB→，CD→满足|AB→||CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→CD→；③零向量没有方向；④向量就是有向线段．其中，正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4答案A答案解析对于①，位移和速度都是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，零向量有方向，其方向是不确定的，故③错误；对于④，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故④错误.解析知识点二向量的几何表示3.在下图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA→，使|OA→|＝42，点A在点O北偏东45°方向上；(2)AB→，使|AB→|＝4，点B在点A正东方向上；(3)BC→，使|BC→|＝6，点C在点B北偏东30°方向上．解(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上，点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．答案(2)由于点B在点A正东方向上，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上，点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB→，如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．答案4．某船从A点出发向西航行了150km到达点B，然后改变方向向北偏西30°方向航行了200km到达点C，最后又改变方向向东航行了150km到达点D.作出向量AB→，BC→，CD→.解作出向量AB→，BC→，CD→，如图所示．答案知识点三相等向量与共线向量5.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则向量a与b的长度相等且方向相同或相反；②对于任意非零向量a，b，若|a|＝|b|且a与b的方向相同，则a＝b；③非零向量a与非零向量b满足a∥b，则向量a与b方向相同或相反；④向量AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点共线；⑤若a∥b且b∥c，则a∥c.其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3答案C答案解析若|a|＝|b|，则向量a与b的长度相等而方向可以任意，故①不正确；根据相等向量的定义可知②正确；根据共线向量的定义可知③正确；向量AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点共线或AB∥CD，故④不正确；若b＝0，则a与c不一定共线，故⑤不正确．综上可知只有②③正确，故选C.解析6．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与AF→，AE→相等的向量；(2)写出与AD→的模相等的向量．解(1)与AF→相等的向量为BE→，CD→，与AE→相等的向量为BD→.(2)与AD→的模相等的向量为DA→，CF→，FC→.答案7.如图，在△ABC中，三边长AB，BC，AC均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→的模相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．解(1)∵E，F分别为边AC，AB的中点，∴EF∥BC.从而与EF→共线的向量包括：FE→，DB→，BD→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)∵E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，∴EF＝12BC，BD＝DC＝12BC.又∵AB，BC，AC均不相等，从而与EF→的模相等的向量有FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)与EF→相等的向量有DB→，CD→.答案8．如图，在四边形ABCD中，AB→＝DC→，N，M分别是边AD，BC上的点，且CN→＝MA→.求证：DN→＝MB→.证明∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|CD→|且AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴|DA→|＝|CB→|，且DA∥CB.又∵DA→与CB→的方向相同，∴CB→＝DA→.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴CM→＝NA→.答案∵|CB→|＝|DA→|，|CM→|＝|NA→|，∴|DN→|＝|MB→|.∵DN∥MB且DN→与MB→的方向相同，∴DN→＝MB→.答案课时综合练一、选择题1．下列说法正确的是()A.AB→∥CD→就是AB→所在的直线与CD→所在的直线平行或重合B．长度相等的向量叫做相等向量C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段D．共线向量是在一条直线上的向量答案C答案解析由定义知，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故C正确．解析2．汽车以120km/h的速度向西走了2h，摩托车以45km/h的速度向东北方向走了2h，则下列命题中正确的是()A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对解析由向量不能比较大小，可知选C.解析答案C答案3．下列说法正确的是()A．有向线段AB→与BA→表示同一向量B．两个有公共终点的向量是平行向量C．零向量与单位向量是平行向量D．对任一向量a，a|a|是一个单位向量答案C答案解析向量AB→与BA→方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当a＝0时，a|a|无意义，故A，B，D错误．零向量与任何向量都是平行向量，C正确．解析4．下列结论中，正确的是()A．2019cm长的有向线段不可能表示单位向量B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得OA→，OB→是单位向量C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D．一个人从A点向东走500米到达B点，则向量AB→不能表示这个人从A点到B点的位移答案B答案解析一个单位长度取作2019cm时，2019cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；B正确；C中两向量为平行向量；D中的AB→表示从点A到点B的位移．解析5．O是△ABC内一点，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，则O是△ABC的()A．重心B．内心C．外心D．垂心解析∵|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴点O是△ABC的外心，故选C.解析答案C答案二、填空题6．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为AD→(其中D在边BC上运动)，则向量AD→长度的最小值为________．解析结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为532.解析答案532答案7．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是边AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF→方向相反的向量为________．答案BA→，CD→答案解析由题意得AB∥EF，CD∥EF，∴在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与EF→平行的向量为DC→，CD→，AB→，BA→，其中方向相反的向量为BA→，CD→.解析8．如图，在△ABC中，∠ACB的角平分线CD交AB于点D，AC→的模为2，BC→的模为3，AD→的模为1，那么DB→的模为________．答案32答案解析由三角形内角平分线的性质，得|AC→|∶|BC→|＝|AD→|∶|DB→|，故|DB→|＝32.解析三、解答题9．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．解(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．(2)满足条件的向量c可以是图中的CD→.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图．答案10．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地西南方向飞行10002km到达丁地，问丁地在甲的什么方向？丁地距甲地多远？解如图，用A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知△ABC为正三角形．答案∴AC＝2000.又∵∠ACD＝45°，CD＝10002.∴△ACD为等腰直角三角形．即AD＝10002，∠CAD＝45°.答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km.答案本课结束