2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量初步 6.2.1 向量基本定理 课时30 共线

课时30共线向量基本定理知识对点练知识点一共线向量基本定理1.已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中AB→＝a，CD→＝b.A．①②B．①③C．②D．③④答案A答案解析由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；∵λa－μb＝0，∴λa＝μb，故②可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．解析2．已知e1，e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为()A．8B．－8C．3D．－3答案B答案解析∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，即3e1－4e2＝6me1＋mke2，∴3＝6m，－4＝mk，即m＝12，k＝－8.解析3.如图所示，已知OA′→＝3OA→，A′B′→＝3AB→，则向量OB→与OB′→的关系为()A．共线B．同向C．共线且同向D．共线、同向，且OB′→的长度是OB→的3倍答案D答案解析由题意，知OB→＝OA→＋AB→，OB′→＝OA′→＋A′B′→＝3OA→＋3AB→＝3OB→，故选D.解析知识点二共线向量基本定理的应用4.已知点P是△ABC所在平面内的一点，且3PA→＋5PB→＋2PC→＝0，设△ABC的面积为S，则△PAC的面积为()A.34SB.23SC.12SD.25S答案C答案解析如图，由于3PA→＋5PB→＋2PC→＝0，则3(PA→＋PB→)＝－2(PB→＋PC→)，3PA→＋PB→2＝－2PB→＋PC→2.解析设AB，BC的中点分别为M，N，则PM→＝12(PA→＋PB→)，PN→＝12(PB→＋PC→)，即3PM→＝－2PN→，则点P在中位线MN上，则△PAC的面积是△ABC的面积的一半．解析5．设AB→＝22(a＋5b)，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3(a－b)，则共线的三点是________．解析BD→＝BC→＋CD→＝a＋5b，AB→＝22BD→，即A，B，D三点共线．解析答案A，B，D答案6．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋1－52ke2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.解析∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，∴k2e1＋1－52ke2＝m(2e1＋3e2)，∴k2＝2m，1－52k＝3m，即3k2＋5k－2＝0，∴k＝13或－2.解析答案13或－2答案7．设O为△ABC内任一点，且满足OA→＋2OB→＋3OC→＝0，且D，E分别是BC，CA的中点，则△ABC与△AOC的面积之比为________．答案3∶1答案解析如图，OB→＋OC→＝2OD→，OA→＋OC→＝2OE→，∴OA→＋2OB→＋3OC→＝(OA→＋OC→)＋2(OB→＋OC→)＝2(2OD→＋OE→)＝0，即2OD→＋OE→＝0，∴DO→与OE→共线，即D，E，O共线，解析∴2|OD→|＝|OE→|，∴S△AOC＝2S△COE＝2×23S△CDE＝2×23×14S△ABC＝13S△ABC，即S△ABCS△AOC＝3.解析8．已知梯形ABCD，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点．用向量法证明：EF∥AB，EF＝12(AB＋DC)．证明如图，延长EF到点M，使FM＝EF，连接CM，BM，EC，EB，得平行四边形ECMB，由平行四边形法则得EF→＝12EM→＝12(EB→＋EC→)．由于AB∥DC，所以AB→，DC→共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB→＝λDC→.答案由三角形法则得EB→＝EA→＋AB→，EC→＝ED→＋DC→且ED→＋EA→＝0，∴EF→＝12(EB→＋EC→)＝12(EA→＋AB→＋ED→＋DC→)＝12(AB→＋DC→)＝1＋λ2DC→，∴EF→∥DC→.由于E，D不共点，∴EF∥DC∥AB，又|EF→|＝12AB→＋DC→＝12(|AB→|＋|DC→|)，∴EF＝12(AB＋DC)，所以结论得证.答案易错点对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a＝(－k，－1)与b＝(4，k)共线且方向相反，则k＝________.易错分析出错的根本原因是对共线向量基本定理b＝λa理解不透，误认为向量反向时，参数k的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案2正解因为向量a＝(－k，－1)与b＝(4，k)共线，所以k2－4＝0，解得k＝±2，当k＝－2时，b＝2a，此时a与b方向相同，不符合题意，应舍去，因此k＝2.答案课时综合练一、选择题1．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1＋2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定解析a＋b＝3e1＋e2，∴c＝6e1＋2e2＝2(a＋b)．∴c与a＋b共线．解析答案B答案2．下面向量a，b共线的有()①a＝2e1，b＝－2e2；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2(e1，e2不共线)．A．②③B．②③④C．①③④D．①②③④答案A答案解析对于①，e1与e2不一定共线，故a与b不一定共线；对于②，a＝－12b，∴a，b共线；对于③，a＝4b，∴a，b共线；对于④，若a，b共线，则存在一实数λ，使得b＝λa，即2e1－2e2＝λ(e1＋e2)，得(2－λ)e1＝(λ＋2)e2，当λ＝2时，得e2＝0，e1，e2共线，矛盾，当λ≠2时，e1＝λ＋22－λe2，则e1，e2共线，矛盾．故a与b不共线．综上，选A.解析3．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与AB→共线的是()A．AB→＋BC→＋AC→B．AM→＋MB→＋BC→C．AM→＋BM→＋CM→D．3AM→＋AC→答案C答案解析设D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，根据点M是△ABC的重心，AM→＋BM→＋CM→＝23(AD→＋BE→＋CF→)＝23(AB→＋BD→＋BC→＋CE→＋CA→＋AF→)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB→共线．解析4．点P是△ABC所在平面内一点，若CB→＝λPA→＋PB→，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上答案B答案解析∵CB→＝λPA→＋PB→，∴CB→－PB→＝λPA→，即CP→＝λPA→.∴点P，A，C共线．∴点P一定在AC边所在的直线上．解析二、填空题5．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为________．答案1答案解析由于c与d同向，所以可设c＝kd(k0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以λ＝k，2λk－k＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k0，所以λ0，故λ＝1.解析6．在△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝4DB→，CD→＝rAB→＋sAC→，则3r＋s的值为________．解析∵AB→＋BC→＝AC→，CD→＝4DB→，∴CD→＝45CB→，即CD→＝45AB→－45AC→，∴r＝45，s＝－45，∴3r＋s＝85.解析答案85答案7．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则点P在边AC的________等分点处．解析由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PC→＝AB→－PB→＝AP→，所以PC→＝2AP→，从而点P在边AC的三等分点处．解析答案三答案三、解答题8．已知非零向量e1，e2不共线，(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．解(1)证明：∵AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.∴AB→与BD→共线，且AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．答案(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，且此两向量均为非零向量，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k－λ＝0，λk－1＝0，∴k＝±1.答案9．如图，平行四边形OACB中，BD＝13BC，OD与BA相交于E.求证：BE＝14BA.证明如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′＝14BA，只要证E，E′重合即可．设OA→＝a，OB→＝b，则BD→＝13a，OD→＝b＋13a.答案∵BE′→＝OE′→－b，E′A→＝a－OE′→，3BE′→＝E′A→，∴3(OE′→－b)＝a－OE′→，∴OE′→＝14(a＋3b)＝34b＋13a，即OE′→＝34OD→，∴O，E′，D三点共线，∴E与E′重合．∴BE＝14BA.答案10．已知OA→，OB→是不共线的两个向量，设OM→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.求证：M，A，B三点共线．证明∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ.∴OM→＝λOA→＋(1－λ)OB→＝λOA→＋OB→－λOB→.∴OM→－OB→＝λ(OA→－OB→)，即BM→＝λBA→(λ∈R)，∴BM→，BA→共线．又∵BM，BA有公共点B，∴M，B，A三点共线．答案11．如图所示，点P在直线AB上，O为直线外任意一点，且OP→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求证：λ＋μ＝1.证明OP→＝λOA→＋μOB→＝λ(OP→＋PA→)＋μ(OP→＋PB→)＝(λ＋μ)OP→＋λPA→＋μPB→，又点P在直线AB上，不妨设PA→＝kPB→，则(λ＋μ－1)OP→＋(λk＋μ)PB→＝0又OP→与PB→不共线，故λ＋μ－1＝0，λk＋μ＝0，得λ＋μ＝1.答案12．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，且AE→＝23AD→，AB→＝a，AC→＝b.(1)用a，b表示向量AD→，AE→，AF→，BE→；(2)求证：B，E，F三点共线．解(1)AD→＝AB→＋BD→＝a＋12BC→＝a＋12AC→－12AB→＝12b＋12a，AE→＝23AD→＝13b＋13a，AF→＝12AC→＝12b，BE→＝AE→－AB→＝13b＋13a－a＝13b－23a.答案(2)证明：BF→＝AF→－AB→＝12AC→－AB→＝12b－a，BE→＝13b－23a，∴23BF→＝BE→，故BF→∥BE→，又BF与BE有公共点B，∴B，E，F三点共线．答案本课结束