2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数章末复习课课件 新人教A版必修第一册

第五章三角函数章末复习课【例1】(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝________.同角三角函数基本关系和诱导公式的应用(2)已知f(α)＝sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋αsin－π＋α·tan－α＋3π.①化简f(α)；②若f(α)＝18，且π4＜α＜π2，求cosα－sinα的值；③若α＝－47π4，求f(α)的值．[思路点拨]先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．(1)13[由已知得－sinθ－2cosθ＝0，故tanθ＝－2，则sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝tanθ＋1tanθ－1＝－2＋1－2－1＝13.](2)[解]①f(α)＝sin2α·cosα·tanα－sinα－tanα＝sinα·cosα.②由f(α)＝sinα·cosα＝18可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×18＝34，又∵π4＜α＜π2，∴cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0，∴cosα－sinα＝－32.③∵α＝－474π＝－6×2π＋π4，∴f－474π＝cos－474π·sin－474π＝cos－6×2π＋π4·sin－6×2π＋π4＝cosπ4·sinπ4＝22×22＝12.1．将本例(2)中“18”改为“－18”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cosα＋sinα.[解]因为－π4＜α＜0，所以cosα＞0，sinα＜0且|cosα|＞|sinα|，所以cosα＋sinα＞0，又(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×－18＝34，所以cosα＋sinα＝32.2．将本例(2)中的用tanα表示1fα＋cos2α.[解]1fα＋cos2α＝1sinαcosα＋cos2α＝sin2α＋cos2αsinαcosα＋cos2α＝tan2α＋1tanα＋1.1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及sinαcosα＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα.注意应用(cosα±sinα)2＝1±2sinαcosα.2．诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．【例2】(1)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2三角函数的图象变换问题C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2(2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()A.π2B.π4C．0D．－π4(1)D(2)B[(1)因为y＝sin2x＋2π3＝cos2x＋2π3－π2＝cos2x＋π6，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移π12个单位长度，得到曲线y＝cos2x＋π12＝cos2x＋π6.故选D.(2)y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后得y＝sin2x＋π8＋φ＝sin2x＋π4＋φ.若该函数为偶函数，则π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，故φ＝kπ＋π4.当k＝0时φ＝π4.故选B.]1．函数y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法2．对称变换(1)y＝f(x)的图象――――→关于x轴对称y＝－f(x)的图象．(2)y＝f(x)的图象――――→关于y轴对称y＝f(－x)的图象．(3)y＝f(x)的图象――――→关于0，0对称y＝－f(－x)的图象．1．将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3D[函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，故选D.]【例3】(1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是()A.0，π2B.π2，πC.π4，π2D.3π4，π三角函数的性质(2)已知函数f(x)＝2sin2x＋π6＋a＋1(其中a为常数)．①求f(x)的单调区间；②若x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值．[思路点拨](1)先根据函数f(x)是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．(2)①由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z求增区间，由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z求减区间．②先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值．(1)B[因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，所以θ＝π2，f(x)＝3sin2x＋π2＝3cos2x，令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－π2≤x≤kπ，可得函数f(x)的增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为π2，π.](2)[解]①由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调减区间为π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．②∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴－12≤sin2x＋π6≤1，∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.1．求本例(2)中函数y＝f(x)，x∈R取最大值时x的取值集合．[解]当f(x)取最大值时，2x＋π6＝π2＋2kπ，∴2x＝π3＋2kπ，∴x＝π6＋kπ，k∈Z.∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是xx＝π6＋kπ，k∈Z.2．在本例(2)的条件下，求不等式f(x)＜1的解集．[解]由f(x)＜1得2sin2x＋π6＋2＜1，所以sin2x＋π6＜－12所以2kπ－5π6＜2x＋π6＜2kπ－π6，k∈Z.解得kπ－π2＜x＜kπ－π6，k∈Z.所以不等式f(x)＜1的解集为xkπ－π2＜x＜kπ－π6，k∈Z.【例4】已知函数f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性．三角恒等变换的综合应用[解](1)f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x＝cosxsinx－32(1＋cos2x)＝12sin2x－32cos2x－32＝sin2x－π3－32，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x∈π6，2π3时，0≤2x－π3≤π，从而当0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤5π12时，f(x)单调递增，当π2≤2x－π3≤π，即5π12≤x≤2π3时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.2要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.2．已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．[解](1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)．【例5】直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θ0＜θ＜π2.(1)将线段AB的长度l表示为θ的函数；(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)三角函数的平面几何中的应用[思路点拨](1)长度l可分成PA，PB两段分别用θ表示．(2)判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比较铁棒长度与AB长度的最小值．[解](1)由题意可知：l＝2sinθ＋2cosθ＝2sinθ＋cosθsinθ·cosθ，其中0＜θ＜π2.(2)l＝2sinθ＋cosθsinθ·cosθ，设t＝sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π4，因为0＜θ＜π2，所以π4＜θ＋π4＜3π4，所以t∈(1，2]，所以l＝4tt2－1＝4t－1t.因为t－1t在(1，2]上是增函数，所以t－1t的最大值为22，所以l＝4t－1t的最小值为42.因为42＞5，所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊．三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：1审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式.2利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为y＝Asinωx＋φ＋b的形式.3在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.3．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何