2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角

5．5.2简单的三角恒等变换(教师独具内容)课程标准：1.能用二倍角公式导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值以及证明三角恒等式．教学重点：利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明．教学难点：利用三角恒等变换来解决问题.核心概念掌握【知识导学】知识点一半角公式知识点二积化和差与和差化积公式(1)积化和差公式sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式sinα＋sinβ＝2sinα＋β2cosα－β2.sinα－sinβ＝2cosα＋β2sinα－β2.cosα＋cosβ＝2cosα＋β2cosα－β2.cosα－cosβ＝－2sinα＋β2sinα－β2.【新知拓展】辅助角公式辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)tanφ＝ba.推导过程：asinx＋bcosx＝a2＋b2aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx.令cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，则asinx＋bcosx＝a2＋b2(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝ba确定或由sinφ＝ba2＋b2和cosφ＝aa2＋b2共同确定．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知cosα＝13，α∈(0，π)，则sinα2＝－33.()(2)cos2π8－14＝2＋14.()(3)函数f(x)＝3sinx＋cosx(x∈R)的最小正周期为π.()×√×2．做一做(1)若cosα＝13，α∈(0，π)，则cosα2的值为()A.63B．－63C．±63D．±33(2)已知cosα＝45，α∈3π2，2π，则sinα2等于()A．－1010B.1010C.3310D．－35(3)函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间π4，π2上的最大值是()A．1B.1＋32C.32D．1＋3(4)若tanα＝2，则tanα2＝________.答案(1)A(2)B(3)C(4)－1±52答案核心素养形成题型一利用半角公式求值例1已知sinα＝－45，πα3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．[解]∵πα3π2，sinα＝－45，∴cosα＝－35，且π2α23π4，∴sinα2＝1－cosα2＝255，答案cosα2＝－1＋cosα2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.答案金版点睛由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．一般讨论角所在象限．(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：①先化简所求的式子．②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．③将已知条件代入所求式子，化简求值．[跟踪训练1]已知sinα2－cosα2＝－15，450°α540°，求tanα2的值．解由题意，得sinα2－cosα22＝15，即1－sinα＝15，得sinα＝45.∵450°α540°，∴cosα＝－35，∴tanα2＝1－cosαsinα＝1－－3545＝2.答案题型二三角函数式的化简例2化简：1＋sinα＋cosαsinα2－cosα22＋2cosα(πα2π)．[解]原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα22·2cos2α2答案＝2cosα2cosα2＋sinα2sinα2－cosα22cosα2＝cosα2－cosαcosα2.又∵πα2π，∴π2α2π，∴cosα20，∴原式＝cosα2·－cosα－cosα2＝cosα.答案[变式探究]将本例改为化简：1＋sinα－cosαsinα2－cosα22－2cosα(180°α360°)．解原式＝2sin2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα22·2sin2α2答案＝2sinα2sinα2＋cosα2sinα2－cosα22sinα2＝2sinα2－cosα2sinα2＝sinα2－cosαsinα2.∵180°α360°，∴90°α2180°，∴sinα20，∴原式＝－cosα.答案金版点睛化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[跟踪训练2]化简：(1)1＋sinθ－1－sinθ3π2θ2π；(2)cos2α1tanα2－tanα2.解(1)原式＝sinθ2＋cosθ2－sinθ2－cosθ2，∵3π2θ2π，∴3π4θ2π，∴0sinθ222，－1cosθ2－22，答案从而sinθ2＋cosθ20，sinθ2－cosθ20.∴原式＝－sinθ2＋cosθ2－sinθ2－cosθ2＝－2sinθ2.(2)原式＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α.答案题型三三角恒等式的证明例3求证：tan3x2－tanx2＝2sinxcosx＋cos2x.[证明]证法一：tan3x2－tanx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝sin3x2cosx2－cos3x2sinx2cos3x2cosx2＝sin3x2－x2cos3x2cosx2答案＝sinxcos3x2cosx2＝2sinxcos3x2＋x2＋cos3x2－x2＝2sinxcosx＋cos2x.∴原式成立．答案证法二：2sinxcosx＋cos2x＝2sin3x2－x2cos3x2－x2＋cos3x2＋x2＝2sin3x2cosx2－cos3x2sinx22cos3x2cosx2＝sin3x2cos3x2－sinx2cosx2＝tan3x2－tanx2.∴原式成立．答案金版点睛在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法.[跟踪训练3]求证：sinα＋βsinα－βsin2αcos2β＝1－tan2βtan2α.证明证法一：左边＝sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβsin2αcos2β＝sin2αcos2β－cos2αsin2βsin2αcos2β＝1－cos2αsin2βsin2αcos2β＝1－tan2βtan2α＝右边．∴原等式成立．答案证法二：右边＝1－cos2αsin2βsin2αcos2β＝sin2αcos2β－cos2αsin2βsin2αcos2β＝sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβsin2αcos2β＝sinα＋βsinα－βsin2αcos2β＝左边．∴原式成立.答案题型四利用辅助角公式研究函数性质例4已知函数f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．[解](1)∵f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12＝3sin2x－π12＋1－cos2x－π12＝232sin2x－π12－12cos2x－π12＋1＝2sin2x－π12－π6＋1＝2sin2x－π3＋1，∴f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.答案(2)当f(x)取得最大值时，sin2x－π3＝1，有2x－π3＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)，∴所求x的集合为{xx＝kπ＋5π12，k∈Z.答案金版点睛1为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型余弦型函数，这是解决问题的前提.2解此类题时要充分运用两角和差公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.[跟踪训练4]已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．解(1)f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，答案所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)max＝2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)min＝－1.答案题型五三角变换的实际应用例5如图，A，B是半径为1的圆O上任意两点，以AB为一边作等边三角形ABC.当点A，B处于怎样的位置时，四边形OACB的面积最大？最大面积是多少？[解]如图，设∠AOB＝θ(0θπ)，四边形OACB的面积为S.取AB的中点D，连接OD，CD，则OD⊥AB，CD⊥AB.在Rt△ODA中，OA＝1，∠AOD＝θ2，所以AD＝OAsin∠AOD＝sinθ2，答案OD＝OAcos∠AOD＝cosθ2，所以AB＝2AD＝2sinθ2.因为△ABC为等边三角形，所以CD＝ACsin∠CAB＝2sinθ2sin60°＝3sinθ2.所以S＝S△ABC＋S△AOB＝12CD·AB＋12OD·AB答案＝12×3sinθ2×2sinθ2＋12×cosθ2×2sinθ2＝3sin2θ2＋12sinθ＝3×1－cosθ2＋12sinθ＝12sinθ－32cosθ＋32＝sinθ－π3＋32.答案因为0θπ，所以－π3θ－π32π3.所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S取得最大值1＋32.所以当OA与OB的夹角为5π6时，四边形OACB的面积最大，最大面积是1＋32.答案金版点睛解答此类问题，关键是合理引入辅助角，先将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中，要注意角的取值范围.[跟踪训练5]有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD建为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，才能使矩形ABCD的面积最大？解画出图形如图所示．设∠AOB＝θ，θ∈0，π2，则AB＝asinθ，OA＝acosθ.设矩形ABCD的面