2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差

第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.2.了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用以及变形应用.3.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算．教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程及运用．教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的变形应用.核心概念掌握【知识导学】知识点一两角和与差的余弦公式知识点二两角和与差的正弦公式知识点三两角和与差的正切公式【新知拓展】1．两角和与差的余弦公式的灵活运用要学会顺用(从左至右，即展开)、逆用(从右至左，即化简)、变用(移项变形)公式．(1)顺用公式，如：cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)；cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ；cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.(2)逆用公式，如：cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos2α.(3)变用公式，如：cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ；cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ.2．两角和与差的正切公式的灵活运用(1)正切公式的逆用tanα＋β－tanα1＋tanα＋βtanα＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ；1＋tanα1－tanα＝tanπ4＋tanα1－tanπ4tanα＝tanπ4＋α.(2)正切公式的变形应用tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋β；1＋tanαtanβ＝tanα－tanβtanα－β.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()(4)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立．()×√√×2．做一做(1)cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于()A.12B．－12C．0D．1(2)化简sin21°cos81°－cos21°sin81°等于()A.12B．－12C.32D．－32(3)tan17°＋tan43°1－tan17°tan43°＝________.答案(1)C(2)D(3)3答案核心素养形成题型一余弦公式的正用、逆用、变形应用例1化简求值：(1)cos20°cos25°－sin20°sin25°；(2)cosπ4＋φ－cosπ4－φ；(3)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.[解](1)原式＝cos(20°＋25°)＝cos45°＝22.(2)原式＝cosπ4cosφ－sinπ4sinφ－cosπ4cosφ＋sinπ4sinφ＝－2sinπ4sinφ＝－2×22sinφ＝－2sinφ.(3)原式＝cos(α＋β－β)＝cosα.答案[条件探究]若将本例(2)改为cosπ4＋φ＋cosπ4－φ，如何化简？解cosπ4＋φ＋cosπ4－φ＝cosπ4cosφ－sinπ4sinφ＋cosπ4cosφ＋sinπ4sinφ＝2cosπ4cosφ＝2×22cosφ＝2cosφ.答案金版点睛解决化简求值问题的策略(1)注意分析式子的结构特点，合理选择余弦的和差公式．(2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用．(3)注意非特殊角与特殊角间的联系及特殊值与特殊角的转化．[跟踪训练1]设角α为锐角，求证：(1)32cosα＋12sinα＝cosπ6－α；(2)cosα－sinα＝2cosπ4＋α.证明(1)证法一：右边＝cosπ6cosα＋sinπ6sinα＝32cosα＋12sinα＝左边，等式成立．证法二：联系等式左右两边可知是两角差的余弦公式，由于cosπ6＝32，sinπ6＝12，因此等式左边＝cosπ6cosα＋sinπ6sinα＝cosπ6－α＝右边，等式成立．答案(2)证法一：右边＝2cosπ4cosα－sinπ4sinα＝222cosα－22sinα＝cosα－sinα＝左边，等式成立．证法二：联系等式左右两边可知是两角和的余弦公式，由于cosπ4＝22，sinπ4＝22，因此等式左边＝222cosα－22sinα＝2cosπ4cosα－sinπ4sinα＝2cosπ4＋α＝右边，等式成立.答案题型二正弦公式的正用、逆用、变形应用例2化简求值：(1)sin(－15°)；(2)sin13°cos17°＋sin77°cos73°；(3)sinπ12－3cosπ12.[解](1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)＝sin30°cos45°－cos30°sin45°＝12×22－32×22＝2－64.(2)原式＝sin13°cos17°＋sin(90°－13°)cos(90°－17°)＝sin13°cos17°＋cos13°sin17°＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝12.答案(3)原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2sinπ12cosπ3－cosπ12sinπ3＝2sinπ12－π3＝－2sinπ4＝－2.答案金版点睛运用公式进行化简、求值的注意点运用两角和与差的正弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式特征的结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角，要善于发现和利用．[跟踪训练2]化简求值：(1)sin15°＋cos15°；(2)sin119°sin181°－sin91°sin29°；(3)sin47°－sin17°cos30°cos17°.解(1)解法一：sin15°＋cos15°＝2sin15°·22＋cos15°·22＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°＝62.答案解法二：sin15°＋cos15°＝2cos15°·22＋sin15°·22＝2(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)＝2cos(45°－15°)＝2cos30°＝62.(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin29°＝cos29°(－sin1°)－cos1°sin29°＝－(sin29°cos1°＋cos29°sin1°)＝－sin(29°＋1°)＝－sin30°＝－12.答案(3)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°＋30°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.答案题型三正切公式的正用、逆用、变形应用例3求值：(1)1－tan15°1＋tan15°；(2)tan72°－tan42°－33tan72°tan42°.[解](1)原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.(2)∵tan30°＝tan(72°－42°)＝tan72°－tan42°1＋tan72°tan42°，∴tan72°－tan42°＝tan30°(1＋tan72°tan42°)．∴原式＝tan30°(1＋tan72°tan42°)－33tan72°tan42°＝33.答案金版点睛正切公式中的常用规律(1)需牢记公式T(α±β)的符号规律为“分子同，分母反”．(2)注意“1＝tan45°”和“3＝tanπ3”的代换．(3)由正切公式可知，tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一．注意公式的正用、逆用、变形使用．[跟踪训练3]求值：(1)3－tan15°1＋3tan15°；(2)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°.解(1)3－tan15°1＋3tan15°＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.(2)原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan10°＋tan20°)＝tan10°tan20°＋3(tan10°＋tan20°)＝tan10°tan20°＋3tan30°(1－tan10°tan20°)＝1.答案题型四三角函数求值例4已知cosα＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．[解](1)因为α，β∈0，π2，所以α－β∈－π2，π2，又sin(α－β)＝10100，所以0α－βπ2.答案所以sinα＝1－cos2α＝255，cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210.答案(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22.又因为β∈0，π2，所以β＝π4.答案金版点睛合理拆分角、凑角等对式子化简求值解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．[跟踪训练4](1)已知cosα＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝12，求tanβ及tan(2α－β)；(2)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tanαtanβ的值．解(1)∵cosα＝45＞0，α∈(0，π)，∴α∈0，π2，sinα＞0.∴sinα＝1－cos2α＝1－452＝35，答案∴tanα＝sinαcosα＝3545＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝34＋121－34×12＝2.答案(2)∵sin(α＋β)＝12，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝12.①∵sin(α－β)＝13，sinαcosβ－cosαsinβ＝13.②由①②解得sinαcosβ＝512，cosαsinβ＝112，∴tanαtanβ＝sinαcosβcosαsinβ＝512112＝5.答案随堂水平达标1．sin14°cos16°＋sin76°cos74°的值是()A.32B.12C．－32D．－12解析sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12.解析答案B答案2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于()A．2