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第1课时两角差的余弦公式(教师独具内容)课程标准:1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义.2.理解利用两点间的距离公式导出两角差的余弦公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.教学重点:两角差的余弦公式的推导与运用.教学难点:两角差的余弦公式的推导过程.核心概念掌握【知识导学】知识点两角差的余弦公式(1)公式中的α,β都是任意角,可以为常量,也可以为变角.(2)公式右端的两部分为的积,连接符号与左边角的连接符号.□02同名三角函数□03相反【新知拓展】(1)逆用:cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β).(2)角变换后使用cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.(3)移项使用cosαcosβ=cos(α-β)-sinαsinβ;sinαsinβ=cos(α-β)-cosαcosβ.(4)特殊化使用导出诱导公式cosπ2-α=cosπ2cosα+sinπ2sinα=sinα.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)cos(60°-30°)=cos60°-cos30°.()(2)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ都不成立.()(3)对任意α,β∈R,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立.()×√×2.做一做(1)cos30°cos60°+sin30°sin60°等于()A.12B.32C.-12D.-32(2)设α∈0,π2,若sinα=35,则2cosα-π4等于()A.75B.15C.-75D.-15(3)cos15°=________.(4)已知cosα=15,α∈0,π2,则cosα-π3=________.答案(1)B(2)A(3)6+24(4)1+6210答案核心素养形成题型一给角求值例1计算:(1)cos15°cos105°+sin15°sin105°;(2)cos(β-15°)cos(β+15°)+sin(β-15°)sin(β+15°);(3)sin75°.[解](1)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=0.(2)原式=cos[(β-15°)-(β+15°)]=cos(-30°)=cos30°=32.(3)sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=22×32+22×12=6+24.答案金版点睛两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值,利用两角差的余弦公式直接展开求解.(2)含有常数的式子,先将常数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角差的余弦公式求解.(3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差,然后利用两角差的余弦公式求解.[跟踪训练1]求下列各式的值:(1)cos75°cos15°-sin75°sin195°;(2)sin46°cos14°+sin44°cos76°;(3)12cos105°+32sin105°.解(1)cos75°cos15°-sin75°sin195°=cos75°cos15°-sin75°sin(180°+15°)=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°=12.答案(2)sin46°cos14°+sin44°cos76°=sin(90°-44°)cos14°+sin44°cos(90°-14°)=cos44°cos14°+sin44°sin14°=cos(44°-14°)=cos30°=32.(3)12cos105°+32sin105°=cos60°cos105°+sin60°sin105°=cos(60°-105°)=cos(-45°)=22.答案题型二给值(式)求值例2(1)已知tanθ=43,θ∈0,π2,求cos2π3-θ;(2)已知α,β为锐角,且cosα=45,cos(α+β)=-1665,求cosβ的值.[解](1)∵tanθ=sinθcosθ=43,且sin2θ+cos2θ=1,θ∈0,π2,sinθ0,cosθ0,解得sinθ=45,cosθ=35.∴cos2π3-θ=cos2π3cosθ+sin2π3sinθ=-12×35+32×45=43-310.答案(2)∵0απ2,0βπ2,∴0α+βπ.由cos(α+β)=-1665,得sin(α+β)=6365.又∵cosα=45,∴sinα=35.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-1665×45+6365×35=513.答案[结论探究]若将本例(2)条件不变,求sinβ的值.解∵α,β为锐角,∴0α+βπ,又cos(α+β)=-1665,∴sin(α+β)=6365,由cosα=45,α为锐角,∴sinα=35,cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=513.又∵β为锐角,∴sinβ=1-cos2β=1213.答案金版点睛给值(式)求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路:已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.(2)常见角的变换:①α=(α-β)+β;②α=α+β2+α-β2;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).[跟踪训练2]已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,求cosα+π4的值.解因为α,β∈3π4,π,所以α+β∈3π2,2π.所以cos(α+β)=1-sin2α+β=45.又β-π4∈π2,3π4,答案所以cosβ-π4=-513,cosα+π4=cosα+β-β-π4=cos(α+β)cosβ-π4+sin(α+β)sinβ-π4=45×-513+-35×1213=-5665.答案题型三给值求角问题例3(1)已知cosα=17,cos(α+β)=-1114,α,β∈0,π2,则β=________;(2)已知α,β均为锐角,且sinα=255,sinβ=1010,则α-β=________.[解析](1)∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π).∵cosα=17,cos(α+β)=-1114,∴sinα=437,sin(α+β)=5314,∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=12.∵0βπ2,∴β=π3.解析(2)∵α,β均为锐角,∴cosα=55,cosβ=31010.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=55×31010+255×1010=22.又∵sinαsinβ,∴0βαπ2,∴0α-βπ2.故α-β=π4.解析[答案](1)π3(2)π4答案[条件探究]若本例(1)变为:已知cosα=17,sin(α+β)=5314,且α,β均为锐角,求β的值.解∵α为锐角且cosα=17,∴sinα=1-cos2α=1-172=437.又α,β为锐角,∴α+β∈(0,π).又sin(α+β)=5314sinα,∴α+β∈π2,π.答案∴cos(α+β)=-1-sin2α+β=-1-53142=-1114.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-1114×17+5314×437=12.又β为锐角,∴β=π3.答案金版点睛已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.[跟踪训练3]已知sinα+sinβ=35,cosα+cosβ=45,0αβπ,求α-β的值.解因为(sinα+sinβ)2=352,(cosα+cosβ)2=452,以上两式展开两边分别相加,得2+2cos(α-β)=1.所以cos(α-β)=-12.因为0αβπ,所以-πα-β0,所以α-β=-2π3.答案随堂水平达标1.cos78°cos18°+sin78°sin18°的值为()A.12B.13C.32D.33解析原式=cos(78°-18°)=cos60°=12.解析答案A答案2.cos80°cos35°+sin80°cos55°的值是()A.22B.-22C.12D.-12解析cos80°cos35°+sin80°cos55°=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos(80°-35°)=cos45°=22.解析答案A答案3.已知cosα=1213,α∈3π2,2π,则cosα-π4的值为()A.5213B.7213C.17226D.7226解析因为α∈3π2,2π,所以sinα=-513,所以cosα-π4=cosαcosπ4+sinαsinπ4=1213×22+-513×22=7226.解析答案D答案4.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=________.解析原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=12.解析答案12答案5.已知sinα-sinβ=-13,cosα-cosβ=12,α,β为锐角,求cos(α-β)的值.解由sinα-sinβ=-13,知sinαsinβ,又α,β为锐角,∴-π2α-β0.又sinα-sinβ=-13,①cosα-cosβ=12,②答案由①2+②2,得2-2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1336,即cos(α-β)=12×2-1336=5972.答案本课结束
本文标题:2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差
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