2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课

第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时单调性与最值学习目标核心素养1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养.2.结合函数图象，培养直观想象素养.自主预习探新知解析式y＝sinxy＝cosx图象值域__________________[－1,1][－1,1]单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z上单调递增，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ，k∈Z上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减最值x＝π2＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－π2＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1思考：y＝sinx和y＝cosx在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝π2，n＝π.1．函数y＝－cosx在区间－π2，π2上是()A．增函数B．减函数C．先减后增函数D．先增后减函数C[因为y＝cosx在区间－π2，π2上先增后减，所以y＝－cosx在区间－π2，π2上先减后增．]2．函数y＝sinxπ4≤x≤5π6的值域为________．12，1[因为π4≤x≤5π6，所以12≤sinx≤1，即所求的值域为12，1.]3．函数y＝2－sinx取得最大值时x的取值集合为________．xx＝2kπ－π2，k∈Z[当sinx＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，此时x＝2kπ－π2，k∈Z.]4．若cosx＝m－1有意义，则m的取值范围是________．[0,2][因为－1≤cosx≤1，要使cosx＝m－1有意义，须有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.]合作探究提素养【例1】(1)函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝2sinπ4＋2x＋1，求函数f(x)的单调递增区间．[思路点拨](1)确定a的范围→y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数→y＝cosx在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．(2)确定增区间→令u＝π4＋2x→y＝2sinu的单调递增区间．正弦函数、余弦函数的单调性(1)(－π，0][(1)因为y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．](2)[解]令u＝π4＋2x，函数y＝2sinu的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤π4＋2x≤π2＋2kπ，k∈Z，得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)＝2sinπ4＋2x＋1的单调递增区间是－3π8＋kπ，π8＋kπ，k∈Z.1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A0，ω0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A0，ω0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．1．(1)函数y＝sin3x＋π6，x∈－π3，π3的单调递减区间为________．(2)已知函数y＝cosπ3－2x，则它的单调减区间为________．(1)－π3，－2π9，π9，π3(2)kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)[(1)由π2＋2kπ≤3x＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得π9＋2kπ3≤x≤4π9＋2kπ3(k∈Z)．又x∈－π3，π3，所以函数y＝sin3x＋π6，x∈－π3，π3的单调递减区间为－π3，－2π9，π9，π3.(2)y＝cosπ3－2x＝cos2x－π3，由2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z，∴单调递减区间是kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．]【例2】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin－π18与sin－π10；(2)sin196°与cos156°；(3)cos－235π与cos－174π.[思路点拨]用诱导公式化简→利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小利用三角函数的单调性比较大小[解](1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2，∴sin－π18＞sin－π10.(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin16°＜sin66°，从而－sin16°＞－sin66°，即sin196°＞cos156°.(3)cos－235π＝cos235π＝cos4π＋35π＝cos35π，cos－174π＝cos174π＝cos4π＋π4＝cosπ4.∵0＜π4＜35π＜π，且y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴cos35π＜cosπ4，即cos－235π＜cos－174π.三角函数值大小比较的策略1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到－π2，π2或π2，3π2内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.2不同名的函数化为同名的函数.3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()A．sinα＜sinβB．cosα＜sinβC．cosα＜cosβD．cosα＞cosβ(2)比较下列各组数的大小：①cos15π8，cos14π9；②cos1，sin1.(1)B[α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞π2，α＞π2－β，α∈0，π2，π2－β∈0，π2，所以cosα＜cosπ2－β＝sinβ.](2)[解]①cos15π8＝cosπ8，cos14π9＝cos4π9，因为0＜π8＜4π9＜π，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，所以cosπ8＞cos4π9，即cos15π8＞cos14π9.②因为cos1＝sinπ2－1，而0＜π2－1＜1＜π2且y＝sinx在0，π2上单调递增，所以sinπ2－1＜sin1，即cos1＜sin1.[探究问题]1．函数y＝sinx＋π4在x∈[0，π]上最小值是多少？提示：因为x∈[0，π]，所以x＋π4∈π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y＝Asinx＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？提示：不是．因为A0时最大值为A＋b，若A0时最大值应为－A＋b.正弦函数、余弦函数的最值问题【例3】(1)函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为________．(2)已知函数f(x)＝asin2x－π3＋b(a＞0)．当x∈0，π2时，f(x)的最大值为3，最小值是－2，求a和b的值．[思路点拨](1)先用平方关系转化，即cos2x＝1－sin2x，再将sinx看作整体，转化为二次函数的值域问题．(2)先由x∈0，π2求2x－π3的取值范围，再求sin2x－π3的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．(1)[－4,0][y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.因为－1≤sinx≤1，所以－4≤y≤0，所以函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为[－4,0]．](2)[解]∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤2π3，∴－32≤sin2x－π3≤1，∴f(x)max＝a＋b＝3，f(x)min＝－32a＋b＝－2.由a＋b＝3，－32a＋b＝－2，得a＝2，b＝－2＋3.1．求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合．[解]因为y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2，所以当sinx＝－1时，ymin＝－4，此时x的取值集合为xx＝2kπ－π2，k∈Z.2．将本例(1)中函数改为y＝cos2x＋sinx，x∈R结果又如何？[解]y＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝－sinx－122＋54.因为－1≤sinx≤1，所以－1≤y≤54，所以函数y＝cos2x＋sinx，x∈R的值域为－1，54.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：1y＝asin2x＋bsinx＋ca≠0，利用换元思想设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.2y＝Asinωx＋φ＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sinωx＋φ的范围，最后得最值.1．确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行．2．函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形.当堂达标固双基1．思考辨析(1)y＝sinx在(0，π)上是增函数．()(2)cos1＞cos2＞cos3.()(3)函数y＝－12sinx，x∈0，π2的最大值为0.()[提示](1)错误．y＝sinx在0，π2上是增函数，在π2，π上是减函数．(2)正确．y＝cosx在(0，π)上是减函数，且0＜1＜2＜3＜π，所以cos1＞cos2＞cos3.(3)正确．函数y＝－12sinx在x∈0，π2上为减函数，故当x＝0时，取最大值0.[答案](1)×(2)√(3)√2．y＝2cosx2的值域是()A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．RA[因为x∈R，所以x2≥0，所以y＝2cosx2∈[－2,2]．]3．sin2π7________sin－15π8(填“＞”或“＜”)．＞[sin－15π8＝sin－2π＋π8＝sinπ8，因为0＜π8＜2π7＜π2，y＝sinx在0，π2上是增函数，所以sinπ8＜sin2π7，即sin2π7＞sin－15π8.]4．函数y＝1－sin2x的单调递增区间．[解]求函数y＝1－sin2x的单调递增区间，转化为求函数