2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正

第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值(教师独具内容)课程标准：1.掌握正弦函数、余弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握正弦函数、余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性和最值．教学难点：利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性及最值.核心概念掌握【知识导学】知识点正弦函数、余弦函数的性质【新知拓展】(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．()(2)存在x∈R满足sinx＝2.()(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cosx仅当x＝0时取得最大值1.()×××2．做一做(1)在下列区间中，函数y＝sinx单调递增的是()A．[0，π]B.π2，3π2C.－π2，π2D．[π，2π](2)函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值为()A．ymax＝3，x＝π2B.ymax＝1，x＝π2＋2kπ(k∈Z)C．ymax＝3，x＝－π2＋2kπ(k∈Z)D．ymax＝3，x＝π2＋2kπ(k∈Z)(3)函数y＝13sinπ6－x(x∈[0，π])的单调递增区间为________．答案(1)C(2)C(3)2π3，π答案核心素养形成题型一正弦函数、余弦函数的单调区间例1求下列函数的单调递增区间：(1)y＝1－sinx2；(2)y＝sin－2x＋π3；(3)y＝log12sin2x＋π4；(4)y＝cos2x.[解](1)由题意可知函数y＝sinx2的单调递减区间即为y＝1－sinx2的单调递增区间，由2kπ＋π2≤x2≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)，所以函数y＝1－sinx2的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．答案(2)y＝sin－2x＋π3＝－sin2x－π3.由π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ(k∈Z)，故函数y＝sin－2x＋π3的单调递增区间为5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z)．答案(3)由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知sin2x＋π40，2kπ＋π2≤2x＋π4≤2kπ＋3π2k∈Z，解得2kπ＋π2≤2x＋π42kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋π8≤xkπ＋3π8(k∈Z)，故所求单调递增区间为kπ＋π8，kπ＋3π8(k∈Z)．答案(4)函数y＝cos2x的单调递增区间由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，∴kπ－π2≤x≤kπ，k∈Z，∴函数y＝cos2x的单调递增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z.答案金版点睛求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当A0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调减区间内，可求得函数的单调减区间．当A0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．最后，需将最终结果写成区间形式．[跟踪训练1]求下列函数的单调区间：(1)y＝cosx2＋π3；(2)y＝3sinπ4－2x.解(1)当2kπ－π≤x2＋π3≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，故函数的单调递增区间是4kπ－8π3，4kπ－2π3，k∈Z.当2kπ≤x2＋π3≤2kπ＋π，k∈Z时，答案函数单调递减，故函数的单调递减区间是4kπ－2π3，4kπ＋4π3，k∈Z.(2)y＝3sinπ4－2x＝－3sin2x－π4，令z＝2x－π4，则y＝－3sinz.要取y＝－3sinz的增区间即取y＝sinz的减区间，即2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，∴kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)，答案∴函数y＝3sinπ4－2x的单调递增区间为kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)．要取y＝－3sinz的减区间即取y＝sinz的增区间，即2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，∴kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k∈Z)．∴函数y＝3sinπ4－2x的单调递减区间为kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z)．答案题型二比较三角函数值的大小例2比较下列各组数的大小：(1)cos－23π5与cos－17π4；(2)sin194°与cos160°；(3)sin1，sin2，sin3.[解](1)cos－23π5＝cos－6π＋7π5＝cos7π5，cos－17π4＝cos－6π＋7π4＝cos7π4，∵π7π57π42π，∴cos7π5cos7π4，即cos－23π5cos－17π4.答案(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°14°70°90°，∴sin14°sin70°.从而－sin14°－sin70°，即sin194°cos160°.(3)∵1π223π，又sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.0π－31π－2π2，而y＝sinx在0，π2上单调递增，∴sin(π－3)sin1sin(π－2)，即sin3sin1sin2.答案金版点睛比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．[跟踪训练2](1)两个数cos－7π8和cos7π6的大小关系是________；(2)按由小到大的顺序排列下列数：cos32，sin110，－cos74.写在横线上为________________．答案(1)cos－7π8cos7π6(2)cos32sin110－cos74答案解析(1)cos－7π8＝cos7π8＝cosπ－π8＝－cosπ8，而cos7π6＝－cosπ6，∵0π8π6π2，∴cosπ8cosπ6，∴－cosπ8－cosπ6，∴cos－7π8cos7π6.答案(2)sin110＝cosπ2－110≈cos1.47，－cos74＝cosπ－74≈cos1.39，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，∴cos1.5cosπ2－110cosπ－74，即cos32sin110－cos74.答案题型三正弦函数、余弦函数的最值问题例3求下列函数的值域：(1)y＝cosx＋π6，x∈0，π2；(2)y＝cos2x－4cosx＋5.[解](1)由y＝cosx＋π6，x∈0，π2，可得x＋π6∈π6，2π3，函数y＝cosx在区间π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为－12，32.答案(2)令t＝cosx，则－1≤t≤1.∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，∴当t＝－1时，y取得最大值10，当t＝1时，y取得最小值2.所以y＝cos2x－4cosx＋5的值域为[2,10]．答案[条件探究](1)将本例(1)改为y＝cosx－π6，x∈0，π2，再求值域；(2)若将本例(1)改为y＝sinx＋π6，x∈0，π2，值域又如何？解(1)y＝cosx－π6，∵x∈0，π2，∴x－π6∈－π6，π3，由余弦函数的图象及其单调性可知cosx－π6∈12，1.∴所求函数的值域为12，1.答案(2)y＝sinx＋π6，∵x∈0，π2，∴x＋π6∈π6，2π3，由正弦函数的图象及其单调性可知sinx＋π6∈12，1，∴所求函数的值域为12，1.答案金版点睛三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．附：形如y＝Asinx＋BCsinx＋D或y＝Acosx＋BCcosx＋D(A2＋C2≠0)的最大值最小值可解出sinx或cosx后利用其有界性来求．[跟踪训练3](1)已知函数f(x)＝2asinx＋b的定义域为－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值；(2)求函数y＝cos2x－sinx在x∈－π4，π4上的最大值和最小值．解(1)因为x∈－π3，2π3，所以sinx∈－32，1.答案2a×－32＋b＝－5，2a＋b＝1或2a＋b＝－5，2a×－32＋b＝1，解得a＝12－63，b＝－23＋123或a＝－12＋63，b＝19－123.(2)y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－sinx＋122＋54.因为－π4≤x≤π4，－22≤sinx≤22，答案所以当x＝－π6，即sinx＝－12时，函数取得最大值，ymax＝54；当x＝π4，即sinx＝22时，函数取得最小值，ymin＝12－22.答案随堂水平达标1．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1,1]B.－54，－1C.－54，1D.－1，54解析y＝sin2x＋sinx－1＝sinx＋122－54，当sinx＝－12时，ymin＝－54；当sinx＝1时，ymax＝1，故选C.解析答案C答案2．下列关系式中正确的是()A．sin11°cos10°sin168°B．sin168°sin11°cos10°C．sin11°sin168°cos10°D．sin168°cos10°sin11°解析∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y＝sinx的单调性，得sin11