2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系课件 新人

第五章三角函数5.2三角函数的概念5.2.2同角三角函数的基本关系学习目标核心素养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)1.通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.自主预习探新知1．平方关系(1)公式：sin2α＋cos2α＝.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于.2．商数关系(1)公式：sinαcosα＝(α≠kπ＋π2，k∈Z)．(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于．11tanα角α的正切思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．1．化简1－sin23π5的结果是()A．cos3π5B．sin3π5C．－cos3π5D．－sin3π5C[因为3π5是第二象限角，所以cos3π5＜0，所以1－sin23π5＝cos23π5＝cos3π5＝－cos3π5.]2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tanα＝－sinαcosαB．cosα＝－1－sin2αC．sinα＝－1－cos2αD．tanα＝cosαsinαB[由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cosα＜0，sinα＞0，故B正确．]3．若cosα＝35，且α为第四象限角，则tanα＝________.－43[因为α为第四象限角，且cosα＝35，所以sinα＝－1－cos2α＝－1－352＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝－43.]合作探究提素养【例1】(1)已知α∈π，3π2，tanα＝2，则cosα＝________.(2)已知cosα＝－817，求sinα，tanα的值．[思路点拨](1)根据tanα＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cosα.(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sinα，tanα.直接应用同角三角函数关系求值(1)－55[由已知得sinαcosα＝2，①sin2α＋cos2α＝1，②由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝15，又α∈π，3π2，所以cosα＜0，所以cosα＝－55.](2)[解]∵cosα＝－817＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝1－cos2α＝1－－8172＝1517，tanα＝sinαcosα＝1517－817＝－158.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－1－cos2α＝－1517，tanα＝158.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：1已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.2若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号.1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．[解]∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±1010.又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－1010，sinα＝31010；当角α的终边在第四象限时，cosα＝1010，sinα＝－31010.【例2】(1)已知sinα＋cosα＝713，α∈(0，π)，则tanα＝________.(2)已知sinα＋cosαsinα－cosα＝2，计算下列各式的值．①3sinα－cosα2sinα＋3cosα；②sin2α－2sinαcosα＋1.灵活应用同角三角函数关系式求值[思路点拨](1)法一：求sinαcosα→求sinα－cosα→求sinα和cosα→求tanα法二：求sinαcosα→弦化切构建关于tanα的方程→求tanα(2)求tanα→换元或弦化切求值(1)－125[法一：(构建方程组)因为sinα＋cosα＝713，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝49169，即2sinαcosα＝－120169.因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝sinα－cosα2＝1－2sinαcosα＝1713.②由①②解得sinα＝1213，cosα＝－513，所以tanα＝sinαcosα＝－125.法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－60169，sinαcosαsin2α＋cos2α＝－60169，tanαtan2α＋1＝－60169，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－512或tanα＝－125.由sinα＋cosα＝713＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－125.](2)[解]由sinα＋cosαsinα－cosα＝2，化简，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.①法一(换元)原式＝3×3cosα－cosα2×3cosα＋3cosα＝8cosα9cosα＝89.法二(弦化切)原式＝3tanα－12tanα＋3＝3×3－12×3＋3＝89.②原式＝sin2α－2sinαcosαsin2α＋cos2α＋1＝tan2α－2tanαtan2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.1．将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？[解]由例(1)求出2sinαcosα＝－120169，因为α∈(－π，0)，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα－cosα＝－sinα－cosα2＝－1－2sinαcosα＝－1713.与sinα＋cosα＝713联立解得sinα＝－513，cosα＝1213，所以tanα＝sinαcosα＝－512.2．将本例(1)的条件“sinα＋cosα＝713”改为“sinα·cosα＝－18”其他条件不变，求cosα－sinα.[解]因为sinαcosα＝－18＜0，所以α∈π2，π，所以cosα－sinα＜0，cosα－sinα＝－1－2sinαcosα＝－1－2×－18＝－52.1．sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．已知tanα＝m，求关于sinα，cosα的齐次式的值解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sinα，cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cosα≠0，所以可除以cosα，这样可将被求式化为关于tanα的表示式，然后代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值．提醒：求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．【例3】(1)化简2sin2α－11－2cos2α＝________.(2)化简sinα1－cosα·tanα－sinαtanα＋sinα.(其中α是第三象限角)[思路点拨](1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．(2)首先将tanα化为sinαcosα，然后化简根式，最后约分．应用同角三角函数关系式化简(1)1[原式＝2sin2α－11－21－sin2α＝2sin2α－12sin2α－1＝1.](2)[解]原式＝sinα1－cosα·sinαcosα－sinαsinαcosα＋sinα＝sinα1－cosα·1－cosα1＋cosα＝sinα1－cosα·1－cosα21－cos2α＝sinα1－cosα·1－cosα|sinα|.又因为α是第三象限角，所以sinα＜0.所以原式＝sinα1－cosα·1－cosα－sinα＝－1.三角函数式化简的常用方法1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.提醒：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.2．化简tanα1sin2α－1，其中α是第二象限角．[解]因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0.故tanα1sin2α－1＝tanα1－sin2αsin2α＝tanαcos2αsin2α＝sinαcosαcosαsinα＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.[探究问题]1．证明三角恒等式常用哪些方法？提示：(1)从右证到左．(2)从左证到右．(3)证明左右归一．(4)变更命题法．如：欲证明MN＝PQ，则可证MQ＝NP，或证QN＝PM等．应用同角三角函数关系式证明2．在证明1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα＝sinα＋cosα时如何巧用“1”的代换．提示：在求证1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα＝sinα＋cosα时，观察等式左边有2sinαcosα，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，所以等式左边＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝sinα＋cosα2＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝sinα＋cosαsinα＋cosα＋1sinα＋cosα＋1＝sinα＋cosα＝右边．【例4】求证：tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα.[思路点拨]解答本题可由关系式tanα＝sinαcosα将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．[证明]法一：(切化弦)左边＝sin2αsinα－sinαcosα＝sinα1－cosα，右边＝sinα＋sinαcosαsin2α＝1＋cosαsinα.因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，所以sinα1－cosα＝1＋cosαsinα，所以左边＝右边．所以原等式成立．法二：(由右至左)因为右边＝tan2α－sin2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α－tan2αcos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2α1－cos2αtanα－sinαtanαsinα＝tan2αsin2αtanα－sinαtanαsinα＝tanαsinαtanα－sinα＝左边，所以原等式成立．1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．提醒：解决此类问题要有整体代换思想．3．求证：(1)sinα－cosα＋1sinα＋cosα－1＝1＋sinαcosα；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.[证明](1)左边＝sinα－cosα＋1sinα＋cosα＋1sinα＋cosα－1sinα＋cosα＋1＝sinα＋12－cos2αsinα＋cosα2－1＝sin2α＋2sinα＋1－1－sin2αsin2α＋cos2α＋2sinαcosα－1＝2sin2α＋2sinα1＋2sinαcosα－1＝2sinαsinα＋12sin