2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.5.2 用二分法求方程的近似解

第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用(二)4.5.2用二分法求方程的近似解学习目标核心素养1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养.自主预习探新知1．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象且的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．连续不断f(a)·f(b)0一分为二零点思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．2．二分法求函数零点近似值的步骤(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]A[∵f(－2)＝－30，f(1)＝60，f(－2)·f(1)0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A．|a－b|0.1B．|a－b|0.001C．|a－b|0.001D．|a－b|＝0.001B[据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．]3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．x3[因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．(0,0.5)f(0.25)[∵f(0)0，f(0.5)0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．]合作探究提素养【例1】已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3D[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]二分法的概念判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()ABCDB[二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．][探究问题]1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．用二分法求函数零点的近似值【例2】求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．[思路点拨]确定初始区间――→二分法定新的有解区间――――――→检验精确度ε得零点近似值[解]确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)0.因为f(－1)0，f(－2)0，所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(－1)0，f(－2)0(－2，－1)x0＝－1－22＝－1.5f(x0)＝4.3750(－2，－1.5)x1＝－1.5－22＝－1.75f(x1)≈2.2030(－2，－1.75)x2＝－1.75－22＝－1.875f(x2)≈0.7360(－2，－1.875)x3＝－1.875－22＝－1.9375f(x3)≈－0.09740(－1.9375，－1.875)x4＝－1.875－1.93752＝－1.90625f(x4)≈0.32800(－1.9375，－1.90625)x5＝－1.9375－1.906252＝－1.921875f(x5)≈0.11740(－1.9375，－1.921875)x6＝－1.9375－1.9218752＝－1.9296875f(x6)≈0.01050(－1.9375，－1.9296875)由于|－1.9296875＋1.9375|＝0.00781250.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.9296875.1．(变条件)求本例函数f(x)在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值．[解]因为f(－1)0，f(－2)0，且函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(－1)0，f(－2)0(－2，－1)x0＝－1－22＝－1.5f(x0)＝4.3750(－2，－1.5)x1＝－1.5－22＝－1.75f(x1)≈2.2030(－2，－1.75)x2＝－1.75－22＝－1.875f(x2)≈0.7360(－2，－1.875)x3＝－1.875－22＝－1.9375f(x3)≈－0.09740(－1.9375，－1.875)由于|－1.875＋1.9375|＝0.06250.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.9375.[解]确定一个包含正数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)0.因为f(0)＝－60，f(1)＝－60，f(2)＝40，所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(1)＝－60，f(2)＝40(1,2)2.若将本例函数改为“f(x)＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？(精确度0.1)x1＝1＋22＝1.5f(1.5)＝－2.6250(1.5,2)x2＝1.5＋22＝1.75f(1.75)≈0.23440(1.5,1.75)x3＝1.5＋1.752＝1.625f(1.625)≈－1.30270(1.625,1.75)x4＝1.625＋1.752＝1.6875f(1.6875)≈－0.56180(1.6875,1.75)由于|1.75－1.6875|＝0.06250.1，所以函数的正数零点的近似值可取为1.6875.利用二分法求方程近似解的过程图示1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．当堂达标固双基1．思考辨析(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．()[答案](1)×(2)×(3)×2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是()A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解D[二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.]3．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)0.取区间的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0∈________(填区间)．(2,3)[因为f(2)·f(3)0，所以零点在区间(2,3)内．]4．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918－0.3604－0.9989由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．[解]因为f(1.25)·f(1.375)0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.1250.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.06250.1，因此1.3125是一个近似解．