2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数、对数函数与幂函数 4.6 函数的应用（二）课时1

课时10函数的应用(二)知识对点练知识点一指数函数模型1.某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是()(下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38)A．38%B．41%C．44%D．73%解析设年平均增长率为p，由题意得(1＋p)6＝23,1＋p＝2＝1.41，∴p＝0.41.故选B.解析答案B答案2．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e12k.∴k＝2ln2.∴y＝e2tln2.∴当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.解析答案2ln21024答案知识点二对数函数模型3.载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量Mt是箭体(包括搭载的飞行器)的重量mt和燃料重量xt之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度ykm/s关于x的函数关系为y＝k[ln(m＋x)－ln(2m)]＋4ln2(其中k≠0)．当燃料重量为(e－1)mt时，该火箭的最大速度为4km/s.(1)求此型号火箭的最大速度ykm/s与燃料重量xt之间的函数关系式；(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1t，取e≈2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？解(1)由题意，得4＝k{ln[m＋(e－1)m]－ln(2m)}＋4ln2，解得k＝8，所以y＝8[ln(m＋x)－ln(2m)]＋4ln2＝8lnm＋xm.(2)由已知，得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x.将y＝8代入(1)中所得式中，得8＝8ln479.8479.8－x，解得x≈303.3.所以应装载大约303.3t燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道．答案知识点三幂函数模型4.2017年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问该地区每年人口的平均增长率是多少？以下数据供计算时使用：真数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010解设该地区每年人口的平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30，即30(1＋x)40＝60.∴(1＋x)40＝2，两边取对数，则40lg(1＋x)＝lg2，则lg(1＋x)＝lg240≈0.007526，∴1＋x≈1.017，解得x＝1.7%.答案易错点忽视指数与对数的运算方法而致错5．如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有a升水，桶2是空的，t分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae－nt(其中n是常数，e是自然对数的底数)．假设在经过5分钟后，桶1和桶2中的水恰好相等．求：(1)桶2中的水y2(升)与时间t(分钟)的函数关系式．(2)经过多少分钟，桶1中的水是a8升？易错分析本题容易出现因忽视指数与对数的关系，不能充分应用指数式与对数式的互化而致误．正解(1)∵桶2中的水是从桶1中流出的，而开始时桶1中的水是a升，又满足y1＝ae－nt，∴桶2中的水与t的函数关系式是y2＝a－ae－nt.(2)∵t＝5时，y1＝y2，∴ae－5n＝a－ae－5n，解得2e－5n＝1，n＝15ln2.∴y1＝ae－ln25t.当y1＝a8时，有a8＝ae－ln25t，解得t＝15.∴经过15分钟桶1中的水是a8升．答案课时综合练一、选择题1．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数解析由题意分析，符合对数型函数的特点．解析答案D答案2．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了()A．10天B．15天C．19天D．2天解析当荷叶生长20天时，长满水面，所以生长19天时，荷叶覆盖水面面积的一半．解析答案C答案3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90℃的物体，放在10℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50℃，那么t的值约等于(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693)()A．1.78B．2.77C．2.89D．4.40解析由题意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝12，即－0.25t＝ln12＝－ln2＝－0.693，解得t≈2.77.解析答案B答案4．某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是()A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋100答案C答案解析由题意，对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x＝4时，误差也较大．对于C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x＝4时，y＝300，与实际值790相差很大．综上，只有C中的函数误差最小．故选C.解析5．向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是()答案B答案解析取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到水瓶高度一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．解析二、填空题6．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg2≈0.30，lg3≈0.48)答案5答案解析设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，在不等式两边取常用对数，则有nlg34＝n(lg3－2lg2)≤lg0.3＝lg3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥133＝413，故至少经过5小时才能开车．解析7．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．答案24答案解析依题意得eb＝192，e22k＋b＝48，两式相除可得e22k＝14，故e11k＝12，故e33k＋b＝e33k·eb＝192×123＝24，即该食品在33℃的保鲜时间是24小时．解析8．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝116t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案(1)y＝10t0≤t≤0.1，116t－0.1t0.1(2)0.6答案解析(1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，则设函数为y＝kt(k0)，将点(0.1,1)代入y＝kt，可得k＝10，所以y＝10t；将点(0.1,1)代入y＝116t－a，得a＝0.1.故所求的函数关系式为y＝10t0≤t≤0.1，116t－0.1t0.1.(2)由116t－0.1＝0.25＝11612，得t＝0.6.即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室．解析三、解答题9．某种海洋生物身体的长度f(t)(单位：米)与生长年限t(单位：年)满足如下的函数关系：f(t)＝101＋2－t＋4(设该生物出生时t＝0)．(1)需经过多长时间，该生物的身长超过8米？(2)该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快．解(1)由f(t)＝101＋2－t＋4≥8，即2－t＋4≤14，解得t≥6，即该生物6年后身长超过8米．(2)由于f(3)－f(2)＝101＋2－101＋22＝43，f(4)－f(3)＝101＋20－101＋21＝53，所以，第3年长了43米，第4年长了53米，因为5343，所以第4年长得快．答案10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，该森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)从今年算起最多还能砍伐多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1)，则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－12110.(2)设经过m年该森林剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即12m10＝1212，m10＝12，解得m＝5，故到今年为止，该森林已砍伐了5年．答案(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，12n10≥1232，n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．解析本课结束