2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数、对数函数与幂函数 4.2.2 对数运算法则 课时

课时5换底公式知识对点练知识点换底公式及应用1．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x－1y等于()A.13B．3C．－13D．－3答案A答案解析由2.5x＝1000,0.25y＝1000得x＝log2.51000＝3lg2.5，y＝log0.251000＝3lg0.25，∴1x－1y＝lg2.53－lg0.253＝13.解析2．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.解析由换底公式，得lg4lg3×lg8lg4×lgmlg8＝lgmlg3＝log416＝2，∴lgm＝2lg3＝lg9，∴m＝9.解析答案9答案(2)已知lg2＝a，lg3＝b，那么log512＝________.解析(2)log512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a＋b1－a.解析答案(1)4(2)2a＋b1－a答案4．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．解原式＝lg3lg4＋lg3lg8lg2lg3＋lg2lg9＝lg32lg2＋lg33lg2·lg2lg3＋lg22lg3＝12＋14＋13＋16＝54.答案5．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.(1)求p；(2)求证：1z－1x＝12y.解(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·log3klog34，∵log3k≠0，∴p＝2log34.(2)证明：1z－1x＝1log6k－1log3k＝logk6－logk3＝logk2＝12logk4＝12y，∴1z－1x＝12y.答案6．计算：(1)log89×log2732；(2)log927；(3)log21125×log3132×log513.解(1)log89×log2732＝lg9lg8×lg32lg27＝lg32lg23×lg25lg33＝2lg33lg2×5lg23lg3＝109.(2)log927＝log327log39＝log333log332＝3log332log33＝32.答案(3)log21125×log3132×log513＝log25－3×log32－5×log53－1＝－3log25×(－5log32)×(－log53)＝－15×lg5lg2×lg2lg3×lg3lg5＝－15.答案易错点换底公式的应用7.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logbc＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac易错分析由于对换底公式掌握不清而致错．答案B答案正解对于A，logab·logbc＝logab·logaclogab＝logac，C，D中公式运用错误，loga(bc)＝logab＋logac.答案课时综合练一、选择题1．(log29)·(log34)＝()A.14B.12C．2D．4解析(log29)·(log34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.解析答案D答案2．已知ln5＝a，ln3＝b，那么log1527用含a，b的代数式表示为()A.3aB.3ba＋bC.b2aD.b3a＋b解析因为log1527＝ln27ln15＝3ln3ln3＋ln5＝3ba＋b，故选B.解析答案B答案3．若log513·log36·log6x＝2，则x等于()A．9B.19C．25D.125解析由换底公式，得原式＝－lg3lg5·lg6lg3·lgxlg6＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝125.解析答案D答案解析解析答案C答案5．设log83＝p，log35＝q，则lg5等于()A．p2＋q2B.15(3p＋2q)C.3pq1＋3pqD．pq答案C答案解析∵log83＝lg3lg8＝lg33lg2＝p，∴lg3＝3plg2.∵log35＝lg5lg3＝q，∴lg5＝qlg3＝3pqlg2＝3pq(1－lg5)，∴lg5＝3pq1＋3pq，故选C.解析二、填空题6．若logab·log3a＝4，则b的值为________．解析logab·log3a＝4，即log3a·log3blog3a＝4，即log3b＝4，∴34＝b，∴b＝81.解析答案81答案7．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．解析由换底公式，得log9(x＋5)＝12log3(x＋5)．∴原方程可化为2log3(x－1)＝log3(x＋5)，即log3(x－1)2＝log3(x＋5)，∴(x－1)2＝x＋5.∴x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.又∵x－10，x＋50，∴x1，故x＝4.解析答案4答案8．设f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)·f(2)…f(n)为整数的n叫做“贺数”，则在区间(1,2018)内所有“贺数”的个数是________．答案9答案解析f(n)＝logn＋1(n＋2)＝lgn＋2lgn＋1，∴f(1)f(2)…f(n)＝lg3lg2·lg4lg3·…·lgn＋2lgn＋1＝lgn＋2lg2＝log2(n＋2)．∵n∈(1,2018)，∴n＋2∈(3,2020)，∵210＝1024,211＝2048，∴在(3,2020)内含有22,23，…，210共9个2的幂，故在区间(1,2018)内所有“贺数”的个数为9.解析三、解答题9．若2a＝3,3b＝5，试用a与b表示log4572.解∵2a＝3,3b＝5，∴log23＝a，log35＝b，∴log25＝log23·log35＝ab，∴log4572＝log272log245＝log223×32log232×5＝3＋2log232log23＋log25＝3＋2a2a＋ab.答案10．设0a1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，若当y＝24时，logay取得最小值，求a的值．解由已知条件，得logax＋3logxa－logxy＝logax＋3logax－logaylogax＝3，所以logay＝(logax)2－3logax＋3＝logax－322＋34.当logax＝32时，logay有最小值34.答案此时y＝24，所以有loga24＝34，答案本课结束