2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.2

课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)关于原点对称，得F(x)是偶函数.解析答案B答案2.函数f(x)＝1x－x的图象()A.关于y轴对称B．关于直线y＝x对称C.关于坐标原点对称D．关于直线y＝－x对称解析∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－1x－(－x)＝x－1x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，f(x)的图象关于坐标原点对称.解析答案C答案3.若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a等于()A.12B.23C.34D．1解析函数f(x)的定义域为xx≠－12，且x≠a.又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝12.解析答案A答案4.已知f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A.1B．2C．－1D．－2解析因为函数f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋1x，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故选D.解析答案D答案5.若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是()A.(a，－f(a))B．(－a，－f(－a))C.(－a，f(a))D．(－a，－f(a))解析因为－f(a)＝f(－a)，所以点(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上．故选D.解析答案D答案二、填空题6.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(2x－1)f53成立，则x的取值范围是________．解析由题可知f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，若f(2x－1)f53成立，则－532x－153，即－13x43.解析答案－13x43答案7.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．解析设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2·(－x)＝x2＋2x，又∵y＝f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，故f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x＜0.解析答案f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x＜0答案8.已知奇函数f(x)在R上单调递增，∀m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)0恒成立，则x的取值范围是________．解析因为奇函数f(x)在R上单调递增，所以由f(mx－2)＋f(x)0，得f(mx－2)－f(x)＝f(－x)，即mx－2－x，所以(m＋1)x2.当m＝－1时，不等式(m＋1)x2恒成立；当－1m≤2时，x2m＋1恒成立，则x22＋1＝23；当－2≤m－1时，x2m＋1恒成立，此时2－2＋1x，即－2x.综上，x∈－2，23.解析答案－2，23答案三、解答题9.已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝x|x－2|，求当x0时，f(x)的解析式．解设x0，则－x0，∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|＝－x|x＋2|.又f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x|x＋2|，∴当x0时，f(x)＝x|x＋2|.答案10.已知函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，当a，b∈(－∞，0)时，总有fa－fba－b＞0(a≠b)．若f(2m＋1)＞f(2m)，求m的取值范围．解当a，b∈(－∞，0)时，总有fa－fba－b＞0(a≠b)，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(2m＋1)＞f(2m)，所以|2m＋1|＜|2m|，即4m＋1＜0，解得m＜－14.答案B级：“四能”提升训练1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(2－x)＋f(x－2)＝0，求f(2020)的值．解∵f(2－x)＋f(x－2)＝0，令t＝x－2，得x＝t＋2，代入有f(－t)＋f(t)＝0，∴f(x)为奇函数，则有f(0)＝0.又∵f(x＋4)＝f[4－(x＋4)]＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，f(4)＝f(0)＝0，∴f(2020)＝f(2012＋8)＝f(2012)＝f(2004＋8)＝f(2004)＝…＝f(4)＝f(0)＝0.答案2.(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)．求证：f(x)为偶函数；(2)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．证明(1)令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，①令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)，②由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数.答案(2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)．令F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．∵F(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，G(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.答案本课结束