2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.2

第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性第2课时奇偶性的应用学习目标核心素养1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式．2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养.合作探究提素养【例1】(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝1x－1，求函数f(x)，g(x)的解析式．用奇偶性求解析式[思路点拨](1)设x0，则－x0――→当x0fx＝－x＋1求f－x――→奇函数得x0时fx的解析式――→奇函数的性质f0＝0――→分段函数fx的解析式(2)fx＋gx＝1x－1――→用－x代式中x得f－x＋g－x＝1－x－1――→奇偶性得fx－gx＝－1x＋1――→解方程组得fx，gx的解析式[解](1)设x0，则－x0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x0时，f(x)＝－x－1.又x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)＝－x－1，x0，0，x＝0，－x＋1，x0.(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．由f(x)＋g(x)＝1x－1，①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，∴f(x)－g(x)＝1－x－1，②(①＋②)÷2，得f(x)＝1x2－1；(①－②)÷2，得g(x)＝xx2－1.把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．[解]∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝1x－1，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，即f(x)－g(x)＝1x＋1.②联立①②得f(x)＝xx2－1，g(x)＝1x2－1.利用函数奇偶性求解析式的方法1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.2要利用已知区间的解析式进行代入.3利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx.提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0＝0.[探究问题]1．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．函数单调性和奇偶性的综合问题2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)f(b)，你能得到什么结论？提示：f(－2)f(3)，若f(a)f(b)，则|a||b|.角度一比较大小问题【例2】函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f(1)f52f72B．f72f(1)f52C．f72f52f(1)D．f52f(1)f72[思路点拨]y＝fx＋2是偶函数―→fx的图象关于x＝2对称――→[0，2]上递增比较大小B[∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f52＝f32，f72＝f12，又f(x)在[0,2]上单调递增，∴f12f(1)f32，即f72f(1)f52.]比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.1在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；2不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)A[由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.]角度二解不等式问题【例3】已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)f(m)，求实数m的取值范围．[解]因为f(x)在区间[－2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上为减函数．又f(1－m)f(m)，所以－2≤1－m≤2，－2≤m≤2，1－mm，即－1≤m≤3，－2≤m≤2，m12.解得－1≤m12.故实数m的取值范围是－1≤m12.解有关奇函数fx的不等式fa＋fb0，先将fa＋fb0变形为fa－fb＝f－b，再利用fx的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.,由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质fx＝f|x|＝f－|x|将fgx中的gx全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解.2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)f(2a＋1)，则a的取值范围是()A．a1B．a－2C．a1或a－2D．－1a2C[因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)f(2a＋1)，所以f(3)f(|2a＋1|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以3|2a＋1|，解之得a1或a－2.故选C.]1．具有奇偶性的函数的单调性的特点(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．2．利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．3．偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.当堂达标固双基1．思考辨析(1)奇函数f(x)＝1x，当x0时的解析式与x0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．()(2)对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|)．()(3)若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，则f(x)关于直线x＝1对称．()(4)若奇函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值a，则f(x)在(－∞，0)上有最大值－a.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则()A．f(1)f(2)B．f(1)f(2)C．f(1)＝f(2)D．以上都有可能A[∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)f(2)，故选A.]3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()A．abB．abC．|a||b|D．0≤ab或ab≥0C[∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴由f(a)f(b)可得|a||b|.]4．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．[解]f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.