2019-2020学年新教材高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算（第2课时）

第一章集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算第2课时补集学习目标核心素养1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)1.通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.自主预习探新知1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作.所有元素U思考：全集一定是实数集R吗？提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作符号语言∁UA＝图形语言不属于集合A∁UA{x|x∈U，且x∉A}1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A＝()A．{0}B．{1}C．∅D．{0,1}D[∵U＝{0,1,2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0,1}，故选D.]2．设全集为U，M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，则U等于()A．{0,2,4,6}B．{0,2,4}C．{6}D．∅A[∵M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，∴U＝M∪∁UM＝{0,2,4,6}，故选A.]3．若集合A＝{x|x1}，则∁RA＝________.{x|x≤1}[∵A＝{x|x1}，∴∁RA＝{x|x≤1}．]合作探究提素养【例1】(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x5}，则∁UA＝_______.补集的运算(1){2,3,5,7}(2){x|x－3或x＝5}[(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知∁UA＝{x|x－3或x＝5}．]求集合的补集的方法1定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.2Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.3数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁AB等于()A．{2,4}B．{0,1,3,5}C．{1,3,5,6}D．{x∈N*|x≤6}(2)已知U＝{x|x0}，A＝{x|2≤x6}，则∁UA＝______.(1)C(2){x|0x2，或x≥6}[(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4}，所以∁AB＝{1,3,5,6}．故选C.(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA＝{x|0x2，或x≥6}．]【例2】设全集为R，A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.[解]把集合A，B在数轴上表示如下：由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2x10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．因为∁RA＝{x|x3，或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2x3，或7≤x10}．解决集合交、并、补运算的技巧1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.2如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.2．全集U＝{x|x10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.[解]法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．法二(定义法)：(∁UB)∩A＝{1,9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，∴∁UB＝{1,4,6,7,9}．又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}．∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1,3,9}．[探究问题]1．若A，B是全集U的子集，且(∁UA)∩B＝∅，则集合A，B存在怎样的关系？提示：B⊆A.2．若A，B是全集U的子集，且(∁UA)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？提示：A⊆B.与补集有关的参数值的求解【例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2x4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．[思路点拨]法一：由A求∁UA――――→结合数轴∁UA∩B＝∅建立m的不等关系法二：∁UA∩B＝∅――――→等价转化B⊆A[解]法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x－m}．因为B＝{x|－2x4}，(∁UA)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}．法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2x4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，结合数轴：得－m≤－2，即m≥2.1．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解]由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x－m}，又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.2．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解]由已知A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.由集合的补集求解参数的方法1如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.2如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.当堂达标固双基1．思考辨析(1)全集一定含有任何元素．()(2)集合∁RA＝∁QA.()(3)一个集合的补集一定含有元素．()[答案](1)×(2)×(3)×2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为()A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,3,4}D．{0,2,4}D[∵∁UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．]3．设集合S＝{x|x－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于()A．{x|－2x≤1}B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}C[因为S＝{x|x－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，∁UP＝{－1}，求实数a的值．[解]由已知，得－1∈U，且－1∉P，因此3－a2＝－1，a2－a－2＝0，解得a＝2.当a＝2时，U＝{2,0，－1}，P＝{2,0}，∁UP＝{－1}，满足题意．因此实数a的值为2.