2019-2020学年新教材高中数学 第1章 集合与常用逻辑术语 1.4 充分条件与必要条件 1.4

课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1解析函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是－m2×1＝1，即m＝－2，故选A.解析答案A答案2．已知p：x≤－1或x≥3，q：x5，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由{x|x5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．解析答案B答案3．若x，y∈R，则“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析因为若x，y∈R，x≤1，y≤1，则x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，则可得x≤1且y≤1，所以必要性成立．解析答案B答案4．已知a，b是实数，则“a0且b0”是“a＋b0且ab0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析“a0且b0”可以推出“a＋b0且ab0”，反之也是成立的．解析答案C答案5．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析根据题意列出A，B，C，D的关系如图，显然有D⇒C⇒B⇒A，即D⇒A；但A⇒/D．故选B.解析答案B答案二、填空题6．下列命题中是真命题的是________(填序号)．①“x2且y3”是“x＋y5”的充要条件；②“x1”是“|x|0”的充分不必要条件；③“b2－4ac0”是“y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的充要条件；④“三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”．答案②④答案解析①因为由x2且y3⇒x＋y5，但由x＋y5不能推出x2且y3，所以“x2且y3”是“x＋y5”的充分不必要条件．②因为由x1⇒|x|0，而由|x|0不能推出x1，所以“x1”是“|x|0”的充分不必要条件．③因为由b2－4ac0不能推出y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0，而由y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0⇒b2－4ac0，所以“b2－4ac0”是“y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的必要不充分条件．④由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故②④是真命题．解析7．“－2x－12成立”是“x(x－3)0成立”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析－2x－12⇒－1x3，x(x－3)0⇒0x3，{x|0x3}{x|－1x3}，由此可知“－2x－12成立”是“x(x－3)0成立”的必要不充分条件．解析答案必要不充分答案8．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________．解析方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a0，解得a－1.反之，若a－1，则Δ0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a－1.解析答案a－1答案三、解答题9．证明：ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明①充分性：由a＋b＋c＝0得a＝－b－c，代入ax2＋bx＋c＝0，得(－b－c)x2＋bx＋c＝0，即(1－x)(bx＋cx＋c)＝0.∴ax2＋bx＋c＝0有一根为1.②必要性：由ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，把它代入方程即有a＋b＋c＝0.综上可知，ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.答案10．已知p：0m13；q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根，那么p是q的什么条件？解设x1，x2是方程mx2－2x＋3＝0的两个根，则方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根等价于m≠0，Δ＝4－4×3×m0，⇔0m13，x1x2＝3m0因此，p是q的充要条件．答案B级：“四能”提升训练1．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．解x2＋kx＋1＝0，x2＋x＋k＝0⇔x2－x2＋xx＋1＝0，x2＋x＋k＝0⇔1－x3＝0，x2＋x＋k＝0⇔x＝1，k＝－2.所以两方程有一公共实根的充要条件为k＝－2.答案2．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy0，即x0，y0或x0，y0时．又当x0，y0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．答案当x0，y0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．答案本课结束