三元均值不等式

均值不等式姓名一、均值不等式。1、二元均值不等式设Rba、,则：2211222babaabba,当且仅当ba时取等。即：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数2、三元均值不等式设Rcba、、,则：3311132223cbacbaabccba,当且仅当cba时取等。利用最原始的方法先证明：abccba3333，（Rcba、、）。证明：abcabbacbaabccba33332233333cbaabccbabacba322abccbabacba322cabcabcbacba2220212121222accbbacba所以:abccba3333把“3a→a,3b→b,3c→c”得33abccba即33abccba,当且仅当a=b=c时上式取”=”号.*3、n元均值不等式设Raaaan、、、、321,调和平均数：nnaaaanH1111321几何平均数：nnnaaaaG321算术平均数：naaaaAnn321平方平均数：naaaaQnn2232221则nnnnQAGH，当且仅当naaaa321时取等。二、利用三元均值不等式求最值设Rcba、、,则：33abcabc,当且仅当cba时取等。变形1：(1)33abcabc（a，,bcR）等号成立abc。积为定值时，和有最小值（积定和最小）变形2：33abcabc（a，,bcR）等号成立abc。和为定值时，积有最大值（和定积最大）注意：一正，二定，三相等例1、求函数2420yxxx的最小值。:变式1：求函数2411yxxx的最小值。例2、求函数211202yxxx的最大值。变式2：求函数2313212yxxx的最大值。变式3：求函数22101yxxx的最大值。变式4：求函数2sincos02y的最大值。例3、已知0,0ab，且3ab，求2yab的最大值。:变式5：已知0,0ab，且24ab，求yab的最小值。例4、已知0ab求1yabab的最小值。:变式6：已知abc求21yacabacbcb的最小值。