运动微分方程

JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院第一章质点力学之1.4运动微分方程JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院§1.4质点运动定律1.第一定律是第二定律所不可缺少的前提,因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-----惯性参考系着重明确:力的独立作用原理牛顿三定律完整的牛顿力学理论体系牛顿力学：牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万有引力定律（引力理论）.JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院3.牛顿第三定律两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出现,大小相等,方向相反,作用在同一条直线上.2.第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年来的实验结果已经证实相差不到10-12.爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设.JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院4.力的独立作用原理:如果一个质点同时受多个力的作用,这些力各自产生的动力学效果不受其他力存在的影响.mFa11rr=mFa22rr=mFannrr=…naaaarLrrr+++=21namamamamrLrrr+++=21∑=+++=inFFFFrrLrr21),,(trrFrmi&rrr&&r∑=力的独立作用原理指出,力不可以是加速度的函数.JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院5.经典力学中的力1）在牛顿力学中,力由牛顿第二定律定义.牛顿第二、第三定律指出:力是物体间的相互作用,力的动力学效果是使受力质点产生加速度.2）万有引力定律:任何两质点间均存在相互作用引力,方向沿两质点连线,大小为:221/rmGmF=3）经典力学中其他常见的力：重力；弹簧弹性力；柔软绳的张力；刚性线或面的支撑力；刚性线或面的摩擦力；洛伦兹力；质点在流体中受流体阻力.6.力学相对性原理和经典力学时空观（1）力学相对性原理:对任何惯性系，力学运动规律完全相同.或者说，对力学运动规律而言，一切惯性系都是等价的.JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院（2）经典力学时空观：经典力学中认为时间和空间都是均匀的、各向同性的；时间和空间是互相独立的；空间距离和时间间隔是绝对的，和参考系的选取无关，不因参考系的运动而变化.经典力学时空观又称绝对时空观.（3）伽利略变换：伽利略变换是力学相对性原理和经典力学时空观的集中体现''ovvvrrr−=''ovvvrrr+=aarr='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===−=ttzzyytvxxo'''''或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=''''''ttzzyytvxxoJLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院§1.5质点运动微分方程一、微分方程建立1.自由质点的运动限制质点运动的条件称为约束，不受约束作用的质点称为自由质点。),(),;(为已知且为合力FtrrFrmr&vrr&&r=1)直角坐标系:()()()⎪⎩⎪⎨⎧===tzyxzyxFzmtzyxzyxFymtzyxzyxFxmzyx,,,,,,,,,,,,,,,,,,&&&&&&&&&&&&&&&三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件：可解得质点的运动规律。orrrrt&r&rrr===,,0时JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院2)平面极坐标:若质点在xOy平面上运动:⎩⎨⎧==yxFymFxm&&&&()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=−),,,,(2),,,,(trrFrrmtrrFrrmrθθθθθθθθ&&&&&&&&&&&&或2.非自由质点的约束运动若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲面称为约束,其方程为约束方程,约束对质点的作用力为约束力(约束反力),约束力是待定的,取决于约束本身的性质,质点的运动状态及其质点受主动力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力.一般采用自然坐标系.RFrmrr&&r+=主质点运动的约束微分方程：JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院1)光滑约束，约束力在轨道的法平面内⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+==)3(0)2()1(2bbnnRFRFvmFdtdvmρτ(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力,方便之处在于运动规律和约束力可分开求解.bRFτn2)非光滑约束2(1)(2)0(3)nnbbdvmFRdtvmFRFRττρ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩22222bnbnNRRRRRRRR++=+==ττμμ4个方程4个未知数,可解JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院二、运动微分方程求解两类基本问题：1)已知运动求力2)已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要课题。解体步骤：1）作图，受力分析;2）写出方程，选坐标系投影;3）积分求解，分析解的物理意义.JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院设沿x轴的电场强度为：()θω+=tEExcos0电子所受的力则为：()θω+−=−=teEeEFxcos0根据牛顿运动定律，电子运动的微分方程为：()θω+−==teEdtdvmdtxdmcos0221.力仅是时间的函数,F=F(t)例:研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院()θω+−==teEdtdvmdtxdmcos022设起始条件是：当t=0时，0vv=上式积分一次得：()θωωθω+−+=tmeEmeEvvsinsin000JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院振荡项与电场具有相同的角频率，且与初始条件无关。非振荡项与起始条件有关，对波的传播特性无贡献，只能影响波到达的前沿位置。ω()θωωθωωθ++⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−=tmeEtmeEvmeExxcossincos2000200上式积分一次得：0xx=设起始条件是：当t=0时，()θωωθω+−+=tmeEmeEvvsinsin000dtdxv=JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院讨论:该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似1)为振荡项,电子在电场的作用下的受迫振动,产生电磁波,对电磁波的传播有贡献;2)其余部分描述电子的匀速直线运动,对电磁波的传播没有贡献,仅给出电子的细致运动;3)可以证明(在高频下)电离层中:)cos(020θωω+tmeE1),(112=+=−=rreerecvnmneεμχχεωχ相速为电极化率为电子密度因此,任何入射到电离层的电磁波都可以折回到地面,当ω1时χe~0,即,微波可以通过电离层.JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院2.力仅是速度的函数F=F(v)1)研究质点重力场中考虑阻力的运动概述：普物中忽略阻力(零级近似):2/cos2tan2/sincos:220220020000gthyxvggygttvytvx−=−=⎩⎨⎧−==自由落体抛体θθθθ但速度较大时，阻力不能忽略。空气阻力比较复杂,阻力的大小与物体的大小有关。详细研究是腔外弹道学.一级近似,抛体视为质点,阻力R=-bvgmvbgmRdtvdmrrrvv+−=+=运动方程:mgbvdtdvmbvdtdvmyyxx−−=−=投影方程:(1)(2)yxPOmgRvJLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院tmbxxxxxtmbxxxxevdtdxvvCvvteCvCtmbvdtmbvdv−−===⇒===+−=⇒−=001011,0lnln时)4()1)(()(:00tbmgebmgvbmxbmgebmgvdtdyvtmbytmbyy−−+=−+==−−类似地)3()1(0,0:002020tmbxxtmbxebmvxbmvCxtCebmvx−−−==⇒==+−=时再积分JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院)1ln()()ln()(0220000022000xvyxxxvyxmvbxbgmxvvbvmgbxmvmvbgmxvvbvmgy−++=−−+=(3)合(4)消去t得轨道方程:LLLLL−−−−=−−−=−−−−++=−+−=+30330202200330220003020022000320cos3cos2tan32])(31)(21[)(32)1ln(,1xmvbxvgxgxmvbxvgxvvmvbxmvbxmvbxbgmxvvbvmgyxxxxmvbxxxvyxxxvyxxϑϑθ由若阻力较小(b很小)或x很小:可见:(1)若阻力较小(b很小)或x很小,可以忽略x3以上的项,与真空中弹道一致(2)当mvx0-bx→0,y→无穷,说明轨道在x=mvx0/b处变成竖直直线.JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院P28,例1：质点在有阻力的空气中竖直下落mgxmkxmixmkvmkR−−=−=−=&&&r&rr若,mgxmkxmixmkvmkR−===22222&&&r&rr若积分后容易求得其解:tkgekghxekgxktkt−−+=−−=−−)1()1(22&)cosh(ln1)tanh(12kgtgkhxkgtkx−=−=&RmgxOJLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院1.19质量为的小球以初速竖直上抛，空气的阻力求：（1）上升的最大高度；（2）返回到地面时小球的速度。解：取地面为原点，坐标轴oy竖直向上。（1）上升时：运动微分方程利用m0vHmvdydvvdtdydydvdtdvdtyd===2222gvmkR=2222gvmkmgdtydm−−=JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院得：积分：得：(1)（2）下降时：运动微分方程：将代入dydvvdtyd=22dygvkgvdv−=+22∫∫−=+Hvdygvkgvdv0022020211ln21vkkH+−=2222gvmkmgdtydm+−=dygvkgvdv−=−22JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院积分：，得：将1)的H代入得∫∫−=−−0022Hvdygvkgvdvm)1(21222mvkkH−−=20201vkvvm+=情况下终极速度的估算：2bvF=设物体尺度为lmgF=mgbv=2z32z2lvlρ∝lv⋅∝ρz人m/s伞m/s人m，小鸟（鼠）m。50z≈v6z≈v8.1=l05.0=l可解释很多现象！！！JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院3.力仅是坐标的函数F=F(x),振动问题2)三维谐振动：⎪⎩⎪⎨⎧−=−=−=zkzmykymxkxmzyx&&&&&&3)阻尼振动、受迫振动:ptHxmkxxmsin+−−=&&&γ1)一维谐振动：ikxxkFrrr−=−=kxxm−=&&JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院非线性微分方程组无一般解法，通常采用计算机求数值解，为一般化，我们考虑模型nvF∝yyxbmgymxyxbxmnn&&&&&&&&&&⋅+−−=⋅+−=−−2121)()(2222yxvyyyyvxyxy======&&4321,,,令则42422443224222212121)()(yyygyyyyyyyyynnmbmb−−+−−==+−==&&&&计算机求解物理学的三方法：理论、实验、数值计算.理论物理课程的三个方面：定性分析、数学推导、数值计算JLUJLUOLEDJLUJLUOLED物理与光电工程学院4.约束运动问题RFdtvdmrrr+=一般选自然坐标系例:质点m沿x2=4ay自x=2a滑至x=0处,求v及其约束反力.解:画草图,受力分析,R,mgmgmgaagmmgvmRayyagvgdyvdvdsdymgvdsdvmdsdymgRvmmgdtdvmva222cos2)1(2sin)sin(sincossin2232002=+=+==′′′+==⇒−=−=∴=−=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−==∫∫θρρθθπαθρθQyxθOmgRτnαJLUJLUOL