2019-2020学年高中数学 专题研究1课件 北师大版必修5

第1页专题研究一数列通项的求法第2页授人以渔第3页题型一累加法例1在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋2n，求an.第4页【解析】∵a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2×(n－1)，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋(2×1)＋(2×2)＋…＋[2×(n－1)]＝1＋2(1＋2＋…＋n－1)＝1＋2·（n－1）·n2＝n2－n＋1(n∈N*)．第5页【讲评】已知an＋1＝an＋f(n)，通常利用累加法，求出通项an.第6页探究1累加法就是利用以下变形来求通项an的方法：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．例如，在等差数列{an}中，由于a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d，所以，对n∈N*，有an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋d＋d＋…＋dn－1个＝a1＋(n－1)d.第7页●思考题1在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，求an.【解析】∵a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝22，…，an－an－1＝2n－2，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋2＋22＋…＋2n－2＝1＋1－2n－11－2＝2n－1(n∈N*)．第8页题型二累乘法例2在数列{an}中，已知a1＝3，nan＝(1＋n)an＋1，求an.【解析】据题意有an＋1an＝nn＋1⇒anan－1＝n－1n.∴an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝3×12×23×34×…×n－1n＝3n(n∈N*)．第9页【讲评】已知an＋1＝g(n)·an，通常利用an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1，求出通项an.第10页探究2累乘法就是利用以下变形来求通项an的方法，an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1.例如，在等比数列{an}中，由于a2a1＝a3a2＝a4a3＝…anan－1＝q，所以，对n∈N*，有an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝a1·q·q·…·q＝a1qn－1.第11页●思考题2在数列{an}中，已知a1＝4，an＋1＝5nan，求an.【解析】据题意有an＋1an＝5n⇒anan－1＝5n－1，∴an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝4·51·52·…·5n－1＝4·51＋2＋3＋…＋(n－1)＝4·5n（n－1）2(n∈N*)．第12页题型三构造法例3已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.求数列{an}的通项公式．第13页【思路分析】本题已知an＋1＝2an＋1，满足an＋1＝qan＋d这种模型，当然可采用迭代法求解，但此种方法一定不要代错，也可用辅助数列求解更简单些．第14页【解析】∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．∴an＋1＝2n.即an＝2n－1.第15页探究3求形如an＋1＝qan＋d(其中q，d为常数，且q≠1)的数列通项，这种方法类似于换元法，主要用于已知递推关系求通项公式．第16页●思考题3(1)已知数列{an}中，a1＝1且an＋1＝anan＋1(n∈N*)，求数列的通项公式．第17页【思路分析】本题已知an＋1＝anan＋1，符合倒数法的模型，采用此种方法求解．第18页【解析】∵an＋1＝anan＋1，∴1an＋1＝an＋1an＝1an＋1.设bn＝1an，则bn＋1＝bn＋1.故{bn}是以b1＝1a1＝1为首项，1为公差的等差数列．∴bn＝1＋(n－1)＝n，∴an＝1bn＝1n.第19页(2)设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1－an＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求{an}的通项公式．第20页【解析】∵an＋1－an＋an＋1·an＝0，∴1an＋1－1an＝1.又1a1＝1，∴{1an}是首项为1，公差为1的等差数列．故1an＝n，∴an＝1n.第21页题型四利用an与Sn的关系例4已知数列{an}中，an0，Sn是数列{an}的前n项和，且an＋1an＝2Sn(n∈N*)，求an.第22页【解析】∵an＋1an＝2Sn且an0，①当n＝1时，a1＋1a1＝2a1，∴S1＝a1＝1.当n≥2时，把an＝Sn－Sn－1代入①得Sn－Sn－1＋1Sn－Sn－1＝2Sn，化简得S2n－S2n－1＝1.第23页所以数列{S2n}是以S21＝a21＝1为首项，公差d＝1的等差数列，即S2n＝1＋(n－1)·1＝n.∵an0，∴Sn0，∴Sn＝n.∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－n－1.而n＝1时，a1＝1也适合上式，∴{an}的通项公式an＝n－n－1.第24页探究4前n项和关系式有两种形式：一种是Sn与n的关系式，记为Sn＝f(n)，它可由公式an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）直接求出通项an，但要注意n＝1与n≥2两种情况能否统一；另一种是Sn与an的关系式，记为f(an，Sn)＝0，求它的通项公式an.第25页●思考题4(1)已知数列的前n项和Sn＝n2＋n－1，求其通项，{an}是等差数列吗？(2)试问前n项和为an－1(a≠0，1)的数列是怎样的数列？第26页【答案】(1)an＝1n＝12nn≥2，不是(2)是等比数列第27页例5(1)数列的前n项和Sn＝(－1)n＋1n，求an；(2)数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.第28页【思路分析】对于已知Sn，求an，即已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因忽略了条件n≥2而出错，必须验证n＝1时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）来表示．第29页【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1n－(－1)n(n－1)＝(－1)n(1－2n)，当n＝1时，a1＝S1＝(－1)2×1＝1，上式中a1＝(－1)1(1－2)＝1.∴an＝(－1)n(1－2n)．第30页(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝3＋21＝5，上式中a1＝21－1＝1，∴an＝5（n＝1），2n－1（n≥2）.第31页●思考题5已知数列{an}中，a1＝1且n1时，2S2n＝2anSn－an，求an.第32页【解析】由已知2S2n＝2anSn－an，得2Sn(Sn－an)＝－an.∵Sn－an＝Sn－1，∴2SnSn－1＝－(Sn－Sn－1)．∴1Sn－1Sn－1＝2(n≥2，n∈N*)．∴数列{1Sn}是首项为1S1＝1，公差为2的等差数列．∴1Sn＝1＋(n－1)×2＝2n－1⇒Sn＝12n－1(n∈N*)．第33页∴an＝Sn－Sn－1＝12n－1－12（n－1）－1＝－2（2n－1）（2n－3）(n≥2)．∴数列的通项公式是an＝1（n＝1），－2（2n－1）（2n－3）（n≥2）.第34页【讲评】由初始条件与递推公式所确定的数列称为递推数列，把给定的递推公式加以变形是求递推数列通项公式的一般方法，构造法的关键是在于对递推式进行变形．第35页