2019-2020学年高中数学 习题课（二） 平面向量课件 北师大版必修4

习题课二提升关键能力平面向量高频考点一平面向量的有关概念及线性运算(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定，在解题时注意它们的特殊性．如“若a∥b，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a与c为任意向量，两者不一定平行．(2)共线向量也叫平行向量，两向量所在的直线可以共线也可以平行．(3)相等向量一定是平行向量．(4)向量a的单位向量为a|a|.(5)λa依然是一个向量，与a的方向相同(λ0)或相反(λ0)．[典例](1)下列命题中，正确命题的个数是()①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a共线的单位向量是a|a|.A．3B．2C．1D．0(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EBuuuuuuur＋FCuuuur＝()A．BCuuuurB．ADuuuuuuurC.12BCuuuurD.12ADuuuuuuur(3)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上．[解析](1)根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是a|a|或－a|a|，故④也是错误的．(2)由向量的加法法则，得BEuuuuuuur＝12(BAuuuuuur＋BCuuuuuuur)，CFuuuuuuur＝12(CBuuuuuur＋CAuuuuuur)，因此EBuuuuuuur＋FCuuuuuuur＝－12(BAuuuuuur＋BCuuuuuuur)－12(CBuuuur＋CAuuuuuur)＝－12(BAuuuuuur＋CAuuuuuur)＝12(ABuuuuuuur＋ACuuuuuuur)＝12×2ADuuuuuuur＝ADuuuuuuur，故选B.[答案](1)D(2)B(3)解：设OAuuuuuur＝a，OBuuuuuuur＝tb，OCuuuuuuur＝13(a＋b)，∴ACuuuuuuur＝OCuuuuuuur－OAuuuuuur＝13(a＋b)－a＝－23a＋13b，ABuuuur＝OBuuuuuuur－OAuuuur＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需ACuuuuuuur＝λABuuuuuuur，即－23a＋13b＝λ(tb－a)．又非零向量a，b不共线，∴13＝λt，－λ＝－23，∴t＝12，λ＝23.∴当t＝12时，三向量终点在同一条直线上．[方法技巧](1)辨别向量概念问题时：一要紧扣相关定义，二要注意零向量易忽视．(2)平面向量的线性运算：①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．解析：选B因为|a－b|＝|a＋b|，由向量的加法和减法法则，知以a，b为邻边的平行四边形对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以a⊥b.1.已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b[集训冲关]2.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，ABuuuuuuur＝a，ACuuuuuuur＝b，则ADuuuuuuur＝()A．a－12bB.12a－bC．a＋12bD.12a＋b解析：选D连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CDuuuuuuur＝12ABuuuuuuur＝12a，所以ADuuuuuuur＝ACuuuuuuur＋CDuuuuuuur＝b＋12a.3.如图，在平行四边形ABCD中，AEuuuuuuur＝13ABuuuuuuur，AFuuuuuuur＝14ADuuuuuuur，CE与BF相交于点G，若ABuuuuuuur＝a，ADuuuuuuur＝b，则AGuuuuuuur＝()A.27a＋17bB.27a＋37bC.37a＋17bD.47a＋27b解析：选C设AGuuuuuuur＝ma＋nb(m，n∈R)，则AGuuuuuuur＝mABuuuuuuur＋4nAFuuuuuuur，∵F，G，B三点共线，∴m＋4n＝1.连接AC，则CGuuuuuuur＝AGuuuuuuur－ACuuuuuuur＝AGuuuuuuur－(ABuuuuuuur＋ADuuuuuuur)＝(m－1)a＋(n－1)b，CEuuuuuuur＝BEuuuuuuur－BCuuuuuuur＝－23ABuuuuuuur－ADuuuuuuur＝－23a－b.∵C，G，E三点共线，∴m－1－23＝n－1－1，即3m－2n＝1.联立m＋4n＝1，3m－2n＝1，解得m＝37，n＝17.∴AGuuuuuuur＝37a＋17b.(1)向量加法、减法、数乘向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a·b＝x1x2＋y1y2.高频考点二平面向量的坐标运算(2)向量坐标与起点、终点坐标的关系及向量的模①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABuuuuuur＝(x2－x1，y2－y1)，|ABuuuuuuur|＝x2－x12＋y2－y12.[典例](1)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝()A．2B．3C．4D．6(2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量ACuuuuuuur＝(－4，－3)，则向量BCuuuuuuur＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)(3)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．①若ABuuuuuuur·ACuuuuuuur＝0，求c的值；②若c＝5，求cosA的值．[解析](1)∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.(2)法一：设C(x，y)，则ACuuuur＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x＝－4，y＝－2，从而BCuuuur＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.法二：ABuuuur＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BCuuuur＝ACuuuur－ABuuuur＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.[答案](1)B(2)A(3)解：①ABuuuur＝(－3，－4)，ACuuuur＝(c－3，－4)．由ABuuuur·ACuuuur＝0，可得－3(c－3)＋16＝25－3c＝0，所以c＝253.②∵ABuuuur＝(－3，－4)，ACuuuur＝(c－3，－4)＝(2，－4)，∴cosA＝||||ABACABACuuuruuuruuuuruuuur＝－6＋16520＝55.[方法技巧](1)向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系．(2)对向量坐标运算注意a∥b，a·b的坐标运算形式易混淆．1．已知向量a＝(1,2)，(a＋b)∥b，则b可以为()A．(1,2)B．(1，－2)C．(2,1)D．(2，－1)解析：选A设b＝(x，y)，则a＋b＝(x＋1，y＋2)，因为(a＋b)∥b，所以(x＋1)y－x(y＋2)＝0，化简得y－2x＝0，只有A满足．[集训冲关]2．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A，B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．3．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.答案：－3(1)平面向量数量积①a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则|a||b|·cosθ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cosθ.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.②a·b的几何意义：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．高频考点三平面向量的数量积(2)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2y1y2|≤x21＋y21x22＋y22[典例](1)(2019·全国卷Ⅱ)已知AB―→＝(2,3)，AC―→＝(3，t)，|BC―→|＝1，则AB―→·BC―→＝()A．－3B．－2C．2D．3(2)如果向量a和b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，那么a和b的夹角θ的大小为()A．30°B．45°C．75°D．135°(3)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.①若|a－b|＝2，求证：a⊥b；②设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．[解析](1)∵BC―→＝AC―→－AB―→＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，|BC―→|＝1，∴12＋t－32＝1，解得t＝3，∴BC―→＝(1,0)，∴AB―→·BC―→＝2×1＋3×0＝2.(2)由a·(a－b)＝0，∴a2－a·b＝0，∴a·b＝1.又cosθ＝a·b|a|·|b|＝11×2＝22，且0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.[答案](1)C(2)B(3)解：①证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.②因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以cosα＋cosβ＝0，sinα＋sinβ＝1.由此得，cosα＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1得，sinα＝sinβ＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.[方法技巧](1)平面向量数量积的计算方法：①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解．②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．(3)计算|a|时注意|a|＝a2，易出错．1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|＝()A．1B.3C.5D．3解析：选C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因为|a|＝1，|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.[集训冲关]3．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.解析：∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝22＋22＝22，|b|＝－82＋62＝10.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－422×10＝－210.答案：－210