2019-2020学年高中数学 第一章 坐标系 1-3 柱坐标系和球坐标系课件 北师大版选修4-4

第1页§3柱坐标系和球坐标系第2页知识探究第3页1.柱坐标系(1)柱坐标：设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组(r，θ，z)就叫作点M的柱坐标，其中，0≤r＋∞，0≤θ2π，－∞z＋∞．第4页(2)点M的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(r，θ，z)的关系为x＝rcosθy＝rsinθz＝zＷ.(3)特别地，r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面；z＝常数，表示的是与xOy平面平行的平面．第5页2．球坐标系(1)球坐标：设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样的三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O到点M间的距离，φ为有向线段OM→与z轴正方向所夹的角，θ为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP→的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图所示)，这样的三第6页个数r，φ，θ构成的有序数组(r，φ，θ)叫作点M的球坐标，其中，0≤r＋∞，0≤φ≤π，0≤θ2π．(2)点M的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)的关系为x＝rsinφcosθy＝rsinφsinθz＝rcosφ.第7页(3)特别地，r＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面．第8页1.点的直角坐标与柱坐标之间的互化公式x＝rcosθy＝rsinθz＝z，r＝x2＋y2tanθ＝yx（x≠0）z＝z.第9页2．点的直角坐标与球坐标之间的互化公式x＝rsinφcosθy＝rsinφsinθz＝rcosφ，r＝x2＋y2＋z2tanφ＝x2＋y2ztanθ＝yx（x≠0）.(z≠0)或cosφ＝zr第10页课时学案第11页题型一将点的柱坐标化为直角坐标例1将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：(1)(2，π6，1)；(2)(6，5π3，－2)；(3)(1，π，0)．【思路分析】由题目可获取以下主要信息：①已知点的柱坐标(ρ，θ，z)；②化为点的直角坐标(x，y，z)．解答本题直接利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z计算即可．第12页【解析】设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(ρ，θ，z)＝(2，π6，1)，∴x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1，z＝1，∴(3，1，1)为所求．第13页(2)∵(ρ，θ，z)＝(6，5π3，－2)，∴x＝ρcosθ＝6cos5π3＝3，y＝ρsinθ＝6sin5π3＝－33，z＝－2.第14页∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z)＝(1，π，0)，∴x＝ρcosθ＝cosπ＝－1，y＝ρsinθ＝sinπ＝0，z＝0.∴(－1，0，0)为所求．第15页探究1根据柱坐标系与点的柱坐标的意义，点(ρ，θ，z)是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy内实际为极坐标系，且ρ≥0，0≤θ2π，在竖直方向上，z为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z转化为三角函数的求值与运算即可．第16页思考题1根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐标：(1)(2，0，－2)；(2)(π，π，π)；(3)(3，3π2，1)．第17页【解析】设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(ρ，θ，z)＝(2，0，－2)，∴x＝2cosθ＝2，y＝2sinθ＝0，z＝－2，∴(2，0，－2)为所求．第18页(2)∵(ρ，θ，z)＝(π，π，π)，∴x＝π·cosπ＝－π，y＝π·sinπ＝0，z＝π，∴(－π，0，π)为所求．(3)∵(ρ，θ，z)＝(3，32π，1)，∴x＝3·cos32π＝0，y＝3·sin32π＝－3，z＝1，∴(0，－3，1)为所求．第19页题型二将点的球坐标化为直角坐标例2将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：(1)(2，3π4，5π4)；(2)(6，π3，2π3)；(3)(3，π，π)．第20页【思路分析】由题目可获取以下主要信息：①已知点的球坐标(r，φ，θ)；②化为点的直角坐标(x，y，z)．解答本题直接利用公式x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ计算即可．第21页【解析】设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(r，φ，θ)＝(2，3π4，5π4)，∴x＝rsinφcosθ＝2sin3π4cos5π4＝－1，y＝rsinφsinθ＝2sin3π4sin5π4＝－1，z＝rcosφ＝2cos3π4＝－2.∴(－1，－1，－2)为所求．第22页(2)∵(r，φ，θ)＝(6，π3，2π3)，∴x＝rsinφcosθ＝6sinπ3cos2π3＝－332，y＝rsinφsinθ＝6sinπ3sin2π3＝92，z＝rcosφ＝6cosπ3＝3.∴(－332，92，3)为所求．第23页(3)∵(r，φ，θ)＝(3，π，π)，∴x＝rsinφcosθ＝3sinπcosπ＝0，y＝rsinφsinθ＝3sinπsinπ＝0，z＝rcosφ＝3cosπ＝－3.∴(0，0，－3)为所求．第24页探究2根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ2π.化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ转化为三角函数的求值与运算．第25页思考题2根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：(1)(2，π4，7π4)；(2)(π4，π2，3π2)；(3)(3，5π6，5π3)．第26页【解析】(1)x＝rsinφcosθ＝2sinπ4cos74π＝1，y＝rsinφsinθ＝2sinπ4sin74π＝－1，z＝rcosφ＝2cosπ4＝2，∴(1，－1，2)为所求．第27页(2)x＝r·sinφcosθ＝π4sinπ2cos32π＝0，y＝rsinφsinθ＝π4sinπ2sin32π＝－π4，z＝rcosφ＝π4·cosπ2＝0，∴(0，－π4，0)为所求．第28页(3)x＝r·sinφcosθ＝3·sin56πcos53π＝34，y＝rsinφsinθ＝3sin56πsin53π＝－334，z＝rcosφ＝3cos56π＝－332，∴(34，－334，－332)为所求．第29页题型三将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标例3已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系A－xyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．第30页【思路分析】由题目可获取以下主要信息：①已知点的直角坐标(x，y，z)；②化为点的柱坐标(ρ，θ，z)和球坐标(r，φ，θ)．解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．第31页【解析】点C1的直角坐标为(1，1，1)，设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0，0≤φ≤π，0≤θ2π.由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，及x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，第32页得ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）.及r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr，得ρ＝2，tanθ＝1，及r＝3，cosφ＝33.第33页结合图形得θ＝π4，由cosφ＝33，得tanφ＝2.∴点C1的直角坐标为(1，1，1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为(3，φ，π4)，其中tanφ＝2，0≤φ≤π.第34页探究3化点M的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(ρ，θ，z)或球坐标(r，φ，θ)，需要对公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z以及x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ进行逆向变换，得到ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0），z＝z以及r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr，在第35页由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可．第36页思考题3若本例中条件不变，点C的柱坐标与球坐标如何分别表示？点D呢？【解析】由图知C(1，1，0)，柱坐标(2，π4，0)，球坐标为(2，π2，π4)，同样点D的直角坐标为(0，1，0)，柱坐标为(1，π2，0)，球坐标为(1，π2，π2)．第37页课后巩固第38页1．将点M的柱坐标(2，5π6，0)化为直角坐标为()A．(2，1，0)B．(1，－3，0)C．(－3，1，0)D．(3，2，0)第39页答案C解析由互化公式得x＝2×cos5π6＝－3，y＝2×sin5π6＝1，z＝0，故选C.第40页2．将点M的直角坐标(1，3，2)化为球坐标为()A．(22，π4，π3)B．(22，π3，π4)C．(2，π4，π3)D．(2，π3，π4)第41页答案A解析r＝x2＋y2＋z2＝1＋3＋4＝22，tanφ＝x2＋y2z＝1＋32＝1，又0≤φ≤π，所以φ＝π4，又tanθ＝yx＝3，0≤θ2π，x0，所以θ＝π3，所以点M的球坐标为(22，π4，π3)，故选A.第42页3．已知点M的球坐标为(2，π3，π4)，则点M的柱坐标为()A．(62，π4，22)B．(62，π3，22)C．(2，π4，22)D．(6，π4，22)答案A第43页4．若点M的柱坐标为(2，2π3，－2)，则点M的直角坐标为________．答案M(－1，3，－2)解析设M的直角坐标为(x，y，z)，∵(ρ，θ，z)＝(2，23π，－2)，∴x＝ρcosθ＝－1，y＝ρsinθ＝3，z＝－2.∴M(－1，3，－2)为所求．第44页5．若点M的球坐标为(4，π4，3π4)，则点M的直角坐标为________．第45页答案M(－2，2，22)解析设点M的直角坐标为(x，y，z)，∵(r，φ，θ)＝(4，π4，34π)，∴x＝rsinφcosθ＝4sinπ4cos34π＝－2，y＝rsinφsinθ＝4sinπ4sin34π＝2，z＝rcosφ＝4cosπ4＝22.∴M(－2，2，22)为所求．第46页