2019-2020学年高中数学 第一章 坐标系 1-2-3 直线和圆的极坐标方程 第2课时 圆的极坐

第1页2．3直线和圆的极坐标方程第二课时圆的极坐标方程第2页知识探究第3页1.极坐标方程的定义(1)定义：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程f(ρ，θ)＝0，并且满足方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫作曲线C的极坐标方程．第4页(2)求曲线的极坐标方程的步骤：①建立适当极坐标系，设M(ρ，θ)是曲线上任意一点；②根据曲线上的点所满足的条件，列出以ρ、θ为变量的等式；③化简，得所求曲线的极坐标方程；④检验所得极坐标方程是否满足条件．第5页2．圆的极坐标方程圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r(0≤θ2π)圆心在点(r，0)ρ＝2rcosθ(－π2≤θπ2)圆心在点(r，π2)ρ＝2rsinθ(0≤θπ)第6页圆心在点(r，π)ρ＝－2rcosθ(π2≤θ3π2)圆心在点(r，3π2)ρ＝－2rsinθ(－πθ≤0)第7页1.圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是ρ＝r；2.圆心为极轴上的点(a，0)，且过极点O的圆的极坐标方程是ρ＝2acosθ.第8页思考1如何建立极坐系，使得圆的极坐标方程最简？【提示】根据圆的几何特征——圆上任意一点到圆心的距离都等于r，若把极点放在圆心，可以得到最简洁的表示形式：ρ＝r.当曲线的几何特征是用距离及角度表示时，选择曲线的极坐标方程表示曲线往往比较方便，得到的方程也是更简单.第9页课时学案第10页题型一过极点的圆的极坐示方程例1(1)圆心为C(3，π6)，半径为3的圆的极坐标方程为________．第11页【解析】如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，则|OP|＝ρ，∠POA＝θ－π6或π6－θ，|OA|＝2×3＝6，Rt△OAP中，|OP|＝|OA|·cos∠POA，∴ρ＝6cos(θ－π6)．【答案】ρ＝6cos(θ－π6)第12页(2)在极坐标系中，圆心在点C(a，π2)处，且过极点的圆的极坐标方程是________．【思路】设M是圆上任意一点，圆与过极点垂直于极轴的直线的交点为P，连接OM、PM，可得Rt△OPM，由边角关系即得到关于ρ、θ的关系式．第13页【解析】如图，P(2a，π2)是圆与过极点垂直于极轴的直线的交点，设M(ρ，θ)是圆上任意一点，连接OM和MP，则OM⊥MP.第14页在Rt△OPM中，用|OM|＝|OP|cos∠POM，即ρ＝2acos(π2－θ)，所以所求的极坐标方程为ρ＝2asinθ.【答案】ρ＝2asinθ第15页探究1求圆的极坐标方程，关键是找到一个含有ρ、θ的三角形，借助三角形的边角关系，得到关于ρ、θ的等式，即为所要求的极坐标方程．第16页思考题1在极坐标系中，已知圆的半径为3，圆心坐标为M(3，π)，则这个圆的极坐标方程是________．第17页【解析】如图，点A的极坐标为(6，π)，设P(ρ，θ)是圆上任意一点，连接OP和AP，则OP⊥AP.在Rt△OAP中，|OP|＝ρ，∠POA＝π－θ或θ－π.∴|OP|＝|OA|cos∠POA，即ρ＝6cos(π－θ)，∴所求圆的极坐标方程为ρ＝－6cosθ.【答案】ρ＝－6cosθ第18页题型二一般圆的极坐标方程例2已知圆心在C(ρ1，θ1)，半径为r，求此圆的极坐标方程．第19页【解析】设P(ρ，θ)为圆周上任意一点，如图所示，在△OCP中，∵|CP|＝r，|OC|＝ρ1，|OP|＝ρ，根据余弦定理，得|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OC|·|OP|·cos(θ－θ1)．即r2＝ρ2＋ρ12－2ρ1ρcos(θ－θ1)．就是ρ2－2ρ1ρcos(θ－θ1)＋(ρ12－r2)＝0.这即为圆在极坐标系中的一般方程．第20页探究2将(ρ，θ)，(ρ1，θ1)归结到△OCP中的边和角，利用余弦定理是解题的关键．第21页思考题2求以(3，－π6)为圆心，半径为1的圆的极坐标方程．第22页【解析】设M(ρ，θ)是所求圆上的任意一点，在△OCM中，|OM|＝ρ，|OC|＝3，|CM|＝1，∠COM＝|θ－(－π6)|＝θ＋π6.由余弦定理，得ρ2＋32－2×3ρcos(θ＋π6)＝12.即ρ2－6ρcos(θ＋π6)＋8＝0.第23页题型三与圆极坐标相关的综合问题例3(1)在极坐标系中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线方程为________．①ρsinθ＝2；②ρcosθ＝2；③ρcosθ＝4；④ρcosθ＝－4.【解析】ρ＝4sinθ表示的圆的直角坐标方程为：x2＋(y－2)2＝4，故直线x＝2是圆的一条切线，填②.【答案】②第24页(2)两圆ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ的公共部分面积是________．【解析】即求圆(x－1)2＋y2＝1与圆x2＋(y－1)2＝1的公共部分面积S，由图形易知，所求面积S＝2×(π4－12)＝π2－1.【答案】π2－1第25页思考题3已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ(ρ≥0，0≤θπ2)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．第26页【解析】联立解方程组ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ(ρ≥0，0≤θπ2)，解得ρ＝23，θ＝π6，即两曲线的交点为(23，π6)．【答案】(23，π6)第27页课后巩固第28页1．极坐标方程ρ＝1且θ＝π2表示()A．点B．射线C．直线D．圆答案A解析由ρ＝1，θ＝π2知，其表示圆心在极点，半径为1的圆上的一点A，如图所示．第29页2．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是()A．过(4，0)点，且垂直于极轴的直线B．过(2，0)点，且垂直于极轴的直线C．以(4，0)为圆心，半径为4的圆D．以极点为圆心，半径为4的圆答案D解析ρ＝4表示以极点为圆心，半径为4的圆，故选D.第30页3．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为()A．ρ＝22cosθB．ρ＝－22cosθC．ρ＝22sinθD．ρ＝－22sinθ第31页答案B解析如图所示，P(2，π)，在圆上任找一点M(ρ，θ)，延长OP与圆交于点Q，则∠OMQ＝90°，在Rt△OMQ中，|OM|＝|OQ|·cos∠QOM，所以ρ＝22cos(π－θ)，即ρ＝－22cosθ.选B.第32页4．过极点的圆的方程为ρ＝sinθ，则它的圆心的极坐标为()A．(1，0)B．(12，0)C．(1，π2)D．(12，π2)第33页答案D解析如图所示，ρ＝|OA|sinθ，所以|OA|＝1，所以半径r＝|OC|＝12.又∠COx＝π2，所以圆心为(12，π2)．故选D.第34页5．在极坐标系中，已知圆C的圆心为C(2，π6)，半径为1，求圆C的极坐标方程．第35页解析在圆C上任取一点P(ρ，θ)，在△POC中，由余弦定理可得|CP|2＝|OC|2＋|OP|2－2|OC|·|OP|·cos∠POC，即1＝4＋ρ2－2×2×ρcos(θ－π6)，化简可得ρ2－4ρcos(θ－π6)＋3＝0.当O，P，C共线时，此方程也成立，故圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos(θ－π6)＋3＝0.第36页