2019-2020学年高中数学 第一章 统计案例课件 新人教A版选修1-2

模块复习提升课一统计案例模块复习提升课1．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2，a^=y－-b^x－.(3)通过求Q＝i＝1n(yi－bxi－a)2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．(4)相关系数：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．2．独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝n（ad－bc）2（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x－，y－)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值，而实质上是预测值(期望值)．主题1线性回归分析以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋面积x的数据：房屋面积x(m2)11511080135105销售价格y(万元)248216184292220(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中画出回归直线；(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．【解】(1)数据对应的散点图如图所示：(2)x－＝15∑5i＝1xi＝109，∑5i＝1(xi－x－)2＝1570，y－＝15∑5i＝1yi＝232，∑5i＝1(xi－x－)(yi－y－)＝3080.设所求回归直线方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝∑5i＝1（xi－x－）（yi－y－）∑5i＝1（xi－x－）2＝30801570≈1.962，a^＝y－－b^x－＝232－109×1.962＝18.142.故所求线性回归方程为y^＝1.962x＋18.142.回归直线如图所示．(3)据(2)，当x＝150时，销售价格的估计值为y^＝1.962×150＋18.142＝312.442(万元)．求线性回归方程的基本步骤[提醒]只有在散点图大致呈直线时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．某市一水电站的年发电量y(单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x(单位：毫米)有如下统计数据：2013年2014年2015年2016年2017年降雨量x(毫米)15001400190016002100发电量y(亿千瓦时)7.47.09.27.910.0(1)若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都高于7.5亿千瓦时的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为y^＝0.004x＋a^.该水电站计划2019年的发电量不低于8.6亿千瓦时，现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1800毫米．请你预测2019年能否完成发电任务？解：(1)从统计的5年发电量中任取2年，基本事件为{7.4，7.0}，{7.4，9.2}，{7.4，7.9}，{7.4，10.0}，{7.0，9.2}，{7.0，7.9}，{7.0，10.0}，{9.2，7.9}，{9.2，10.0}，{7.9，10.0}，共10个；其中这2年的发电量都高于7.5亿千瓦时的基本事件为{9.2，7.9}，{9.2，10.0}，{7.9，10.0}，共3个．所以这2年的发电量都高于7.5亿千瓦时的概率为P＝310.(2)因为x－＝1500＋1400＋1900＋1600＋21005＝85005＝1700.y－＝7.4＋7.0＋9.2＋7.9＋10.05＝41.55＝8.3，又直线y^＝0.004x＋a^过点(x－，y－)，所以8.3＝0.004×1700＋a^，解得a^＝1.5，所以y^＝0.004x＋1.5.当x＝1800时，y^＝0.004×1800＋1.5＝8.7＞8.6，所以预测该水电站2019年能完成发电任务．主题2非线性回归分析某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x－y－w－i＝18(xi－x－)2i＝18(wi－w－)2i＝18(xi－x－)(yi－y－)i＝18(wi－w－)(yi－y－)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝xi，w－＝18i＝18wi.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni＝1（ui－u－）（vi－v－）∑ni＝1（ui－u－）2，α^=v－-β^u－.【解】(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．由于d^＝∑8i＝1（wi－w－）（yi－y－）∑8i＝1（wi－w－）2＝108.81.6＝68，c^＝y－－d^w－＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．非线性回归问题的求解策略(1)画散点图：首先画出已知数据的散点图．(2)拟合数据：把散点图与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数．(3)变量代换：采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．在试验中得到变量y与x的数据如下：x0.06670.03880.03330.02730.0225y39.442.941.043.149.2由经验知，y与1x之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方程；当x0＝0.038时，预测y0的值．解：令u＝1x，由题目所给数据可得下表所示的数据：序号uiyiu2iuiyi115.039.4225591225.842.9665.641106.82330.041.09001230436.643.11339.561577.46544.449.21971.362184.48合计151.8215.65101.566689.76计算得b^＝0.29，a^＝y－－b^x－＝34.32，y^＝34.32＋0.29u，所求回归曲线方程为y^＝34.32＋0.29x，当x0＝0.038时，y^0＝34.32＋0.290.038≈41.95.主题3独立性检验思想的应用为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60，65)[65，70)[70，75)[75，80]频数30402010表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85]频数1025203015完成下面2×2列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2总计注射药物Aa＝b＝注射药物Bc＝d＝总计n＝【解】列出2×2列联表疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2总计注射药物Aa＝70b＝30100注射药物Bc＝35d＝65100总计10595n＝200K2的观测值为k＝200×（70×65－35×30）2100×100×105×95≈24.56，由于k＞10.828，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．解决一般的独立性检验问题的步骤(1)通过列联表确定a，b，c，d，n的值，根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0.(2)利用K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）求出K2的观测值k.(3)如果k≥k0，就推断“两个分类变量有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“两个分类变量有关系”．(2018·南海中学、普宁二中、中山一中、潮阳一中、仲元中学第一次联考)某淘宝店经过对“十一”七天假期的消费情况进行统计，发现在金额不超过1000元的消费者中男女之比约为1∶4，该店按此比例抽取了100名消费者进行进一步分析，得到下表．女性消费情况：消费金额/元(0，200)[200，400)[400，600)[600，800)[800，1000]人数51015473男性消费情况：消费金额/元(0，200)[200，400)[400，600)[600，800)[800，1000]人数231032若消费金额不低于600元的消费者称为“网购达人”、低于600元的消费者称为“非网购达人”．(1)分别计算女性和男性消费的平均数，并判断平均消费水平高的一方“网购达人”出手是否更阔绰？(2)根据以上统计数据填写如下2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”．女性男性总计“网购达人”“非网购达人”总计附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879解：(1)女性消费的平均数为180(100×5＋300×10＋500×15＋700×47＋900×3)＝582.5(元)．男性消费的平均数为120(100×2＋300×3＋500×10＋700×3＋900×2)＝500(元)．虽然女性消费者的平均消费水平较高，但“女网购达人”的平均消费水平(为712元)低于“男网购达人”的平均消费水平(为780)元，所以平均消费水平高的一方“网购达人”出手不一定更阔绰．(2)2×2列联表如下表：女性男性总计“网购达人”50555“非网购达人”301545总计8020100K2的观测值为k＝100×（50×15－30×5）255×45×80×20≈9.091，因为9.0917.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别有关”．1．如果某地的财政收