2019-2020学年高中数学 第一章 统计 4 数据的数字特征 4.1 平均数、中位数、众数、极差

第一章统计§4数据的数字特征4．1平均数、中位数、众数、极差、方差4．2标准差自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．熟练掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等概念．2．会根据问题的需要选择不同的统计量表达数据的信息.1．平均数(1)平均数的定义如果有n个数x1、x2、…、xn，那么x＝__________________，叫作这n个数的平均数．(2)平均数的分类总体平均数：________所有个体的平均数叫总体平均数．样本平均数：________所有个体的平均数叫样本平均数．x1＋x2＋…＋xnn总体中样本中2．中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最______位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．3．众数一组数据中重复出现次数______的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是______，也可以是______．中间最多一个多个练一练：(1)已知一组数据10,30,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A．平均数中位数众数B．平均数中位数众数C．中位数众数平均数D．众数＝中位数＝平均数解析：中位数、平均数、众数都是50，故选D．答案：D4．极差一组数据的________与________的差称为这组数据的极差．5．方差(1)方差的定义在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与_____________________________的平均数，叫作这组数据的方差，通常用“s2”表示．最大值最小值它们平均数x的差的平方(2)方差的计算方法s2＝___________________________________＝__________________________＝__________________________.1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]1n[(x21＋x22＋…＋x2n)－n·x2]1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x26．标准差(1)标准差的定义方差的____________称为标准差．(2)标准差的计算方法s＝s2＝_____________________________________.算术平方根x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2n练一练：(2)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为()分数54321人数2010303010A．3B．2105C．3D．85解析：平均数是5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10100＝3，标准差是s＝20×5－32＋10×4－32＋30×3－32＋30×2－32＋10×1－32100＝80＋10＋30＋40100＝85＝2105，故选B．答案：B7．数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的__________，极差、方差刻画了一组数据的__________．集中趋势离散程度1．平均数受哪些因素的影响？平均数与每一个样本的数据有关，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，它反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．2．中位数有何优缺点？中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息．它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．3．众数的特征是什么？众数体现了样本数据的最大集中点，容易计算．但它只能表达样本数据中很少一部分信息，无法客观地反映总体特征．4．极差在研究数据中有何作用？极差往往不能反映一组数据的实际离散程度，它反映的是一组数据的最大离散值．5．方差、标准差反映数据有哪些方面的特征？方差、标准差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．典例精析规律总结课堂互动探究某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如表所示(单位：万元)：部门ABCDEFG人数1124223利润2052.52.11.51.51.2(1)求该公司每人所创年利润的平均数和中位数；(2)你认为使用平均数和中位数哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平比较合理？【解】(1)平均数x＝115×(20＋5＋2.5×2＋2.1×4＋1.5×2＋1.5×2＋1.2×3)＝3.2(万元)，中位数是2.1万元．(2)因为该公司A部门每人所创年利润与其他部门每人所创年利润差很大，导致平均数与中位数偏差较大，所以应用中位数来描述该公司每人所创年利润的一般水平，而不能使用平均数描述．【规律总结】若一组数据中有极端值出现，则它对平均数影响较大，平均数不能很好地反映总体．当数据中个别数变动较大时，用中位数描述较好．某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数与众数的和是________．解析：众数为23，中位数为(23＋23)÷2＝23，∴众数与中位数之和为23＋23＝46.答案：46甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下(单位：克)：甲：203204202196199201205197202199乙：201200208206210209200193194194(1)分别计算这两个样本的平均数与方差；(2)从计算结果看，哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克？哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？【解】(1)x甲＝110(3＋4＋2－4－1＋1＋5－3＋2－1)＋200＝200.8，x乙＝110(1＋0＋8＋6＋10＋9＋0－7－6－6)＋200＝201.5.s2甲＝110[(203－200.8)2＋(204－200.8)2＋(202－200.8)2＋(196－200.8)2＋(199－200.8)2＋(201－200.8)2＋(205－200.8)2＋(197－200.8)2＋(202－200.8)2＋(199－200.8)2]＝7.96，s2乙＝110[(201－201.5)2＋(200－201.5)2＋(208－201.5)2＋(206－201.5)2＋(210－201.5)2＋(209－201.5)2＋(200－201.5)2＋(193－201.5)2＋(194－201.5)2＋(194－201.5)2]＝38.05.(2)∵x乙＞x甲＞200，s2甲＜s2乙，∴甲包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近200克，且质量比较稳定．【规律总结】平均数可反映数据的总体水平，但不能完全反映问题，尤其是平均数相同的情况下，还要考虑方差，方差越大，数据离散程度越大；方差越小，数据越集中．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．解析：x甲＝87＋91＋90＋89＋935＝90，x乙＝89＋90＋91＋88＋925＝90，故s2甲＝87－902＋91－902＋90－902＋89－902＋93－9025＝4，s2乙＝89－902＋90－902＋91－902＋88－902＋92－9025＝2.答案：2甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．(1)请填写下表：平均数方差中位数命中9环及9环以上次数甲乙(2)请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩稳定；②从平均数和中位数相结合看，分析谁的成绩好些；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，分析谁的成绩好些．【解】(1)填表如下：平均数方差中位数命中9环及9环以上次数甲71.271乙75.47.53(2)①因为平均数相同，且s2甲＜s2乙，所以甲的成绩比乙稳定．②因为平均数相同，甲的中位数＜乙的中位数，所以乙的成绩比甲好些．③因为平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，所以乙的成绩比甲好些．【规律总结】统计图表是数据展示的一种方式，而统计量要用到数据的准确值，因此需把折线图或茎叶图中的数据适当整理，再进行统计量的计算．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：∵x甲＝(4＋5＋6＋7＋8)÷5＝6，x乙＝(5×3＋6＋9)÷5＝6，∴x甲＝x乙，∴A错；∵甲的中位数为6，乙的中位数为5，∴B错；∵甲的极差为8－4＝4，乙的极差为9－5＝4，∴D错．故选C．答案：C一次数学知识竞赛中，两组学生成绩如下表：分数5060708090100甲组251013146人数乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由．【错解】由于乙组90分以上人数比甲组90分以上人数多，∴乙组成绩较优秀．【错因分析】对一组数据进行分析的时候，应从平均数、众数、中位数、方差、极差等多个角度进行判断．【正解】(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝150×(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋14×100＋6×400)＝172.s2乙＝150×(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256.因为s2甲＜s2乙，所以甲组成绩较乙组成绩稳定．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为20人，乙组成绩大于或等于90分的人数为24人，所以乙组成绩在高分阶段的人数多，同时，乙组得满分的比甲组得满分的多6人，从这一角度看，乙组成绩较好．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一众数1．一文具店购入50盒图钉，每盒所装的图钉数目如下表.图钉数目96979899100101102103盒数1481212733则每盒中图钉个数的众数是()A．99B．100C．101D．99和100解析：图钉数目为99和100时，出现的盒数最多，都是12盒，所以每盒中图钉个数的众数为99和100.答案：D知识点二平均数与中位数2．在一次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：环数789人数23已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是()A．5B．6C．4D．7解析：设8环的人数为x，∴7×2＋8×x＋9×3x＋2＋3＝8.1，解得x＝5，∴选A．答案：A3．(2017·山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()A．3,5B．5,5C．3,7D．5,7解析：根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平均值相等，所以56＋62＋65＋74＋70＋x5＝59＋61＋67＋60＋y＋785，解得x＝3.答案：A知识点三方差4．(2019·江苏卷)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．解析：由题意，该组数据的平均数为6＋7＋8＋8＋9＋106＝8，所以该组数据的方差是16×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝53.答案：535．若x1，x2，x3，…，xn的平均数是x，方差是s2，a，b是常数．求：(1)x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差s21；(2)ax1，ax2，…，ax