2019-2020学年高中数学 第一章 统计 1.8 最小二乘估计课后梯度测评课件 北师大版必修3

课后梯度测评一、选择题1．过三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归直线方程是()A．y＝1.75－5.75xB．y＝－1.75＋5.75xC．y＝5.75＋1.75xD．y＝5.75－1.75x解析根据求线性回归方程的方法，利用公式可得到答案．解析答案C答案2．抽测10只某种白炽灯的使用寿命x，结果如下(单位：h)：1067,919,1196,785，t,936,918,1156,920,918，若x－＝997，则t大约是()A．1120B．1124C．1155D．1128答案C答案3．在线性回归方程中，b表示()A．当x增加一个单位时，y增加a的数量B．当y增加一个单位时，x增加b的数量C．当x增加一个单位时，y的平均变化量D．当y增加一个单位时，x的平均变化量解析本题主要考查线性回归方程中a，b的含义．解析答案C答案4．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到线性回归方程y＝bx＋a，那么下列说法中错误的是()A．直线y＝bx＋a必经过点(x－，y－)B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点C．直线y＝bx＋a的斜率为b＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2D．直线y＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差的平方和i＝1n[yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差的平方和中最小的答案B答案解析理解线性回归方程的真正含义．因为y－＝bx－＋a，其中x－＝1n(x1＋x2＋…＋xn)，y－＝1n(y1＋y2＋…＋yn)，显然回归直线经过点(x－，y－)．故A是正确的．回归直线最能近似刻画点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的变化趋势，但并不一定经过某些点．故B是错误的．对于C、D只需了解相应概念便会得出正确结论．解析5．下列叙述中：①变量间关系有函数关系，还有相关关系；②回归函数即用函数关系近似地描述相互关系；③∑ni＝1xi＝x1＋x2＋…＋xn；④线性回归方程y^＝bx＋a中，b＝∑ni＝1xi－x－yi－y－∑ni＝1xi－x－2，a＝y－－bx－；⑤线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系．其中正确的有()A．①②③B．①②④⑤C．①②③④D．③④⑤解析利用直接法逐个判断可知，①②③④正确，而⑤线性回归方程可以近似地表示具有线性相关关系，而不能表示其他相关关系．解析答案C答案6．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成份含量x之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得：∑8i＝1xi＝52，∑8i＝1yi＝228，∑8i＝1x2i＝478，∑8i＝1xiyi＝1849，则y与x的回归方程是()A.y^＝11.47＋2.62xB.y^＝－11.47＋2.62xC.y^＝2.62＋22.47xD.y^＝11.47－2.62x解析把题目所给的数据代入公式分别求系数a和b即可．解析答案A答案二、填空题7．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y^＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．答案0.254答案解析本小题主要考查了利用回归直线方程，对数据进行估计．以x＋1代x，得0.254(x＋1)＋0.321，与0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．解析8．某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)的对应数据如下：x3528912y46391214则x－＝________，y－＝________，∑6i＝1x2i＝________，∑6i＝1xiyi＝________，回归方程为________．解析根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，x－＝6.5，y－＝8，∑6i＝1x2i＝327，∑6i＝1xiyi＝396，回归方程为y^＝1.4x＋0.571.解析答案6.58327396y^＝1.4x＋0.571答案9．假设学生在初中的英语成绩和高一英语成绩是线性相关的．现有10名学生的初中英语成绩(x)和高一英语成绩(y)如下：x74717268767367706574y76757170767965776272则由此得到的回归直线的斜率为________．(保留到小数点后第4位)答案1.2182答案解析求斜率即求回归方程中的b，按照公式进行即可，即需要依次计算出x－＝71，∑10i＝1x2i＝50520，y－＝72.3，∑10i＝1xiyi＝51467，所以b＝51467－10×71×72.350520－10×712≈1.2182，所以斜率为1.2182.解析三、解答题10．在10年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额有如下数据：(1)画出散点图；(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的线性回归方程．解(1)散点图如图．答案(2)由图可知，y与x线性相关，列表计算如下：答案所以b＝15202.9－10×37.97×39.114663.67－10×37.972≈1.447，a＝39.1－1.447×37.97≈－15.843，因此，所求线性回归方程为y＝1.447x－15.843.答案11．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物)，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量x(万辆)100102108114116浓度y(微克/立方米)7880848890(1)根据上表数据，用最小二乘法求出y与x的线性回归方程；(2)若周六同一时段车流量是200万辆，试根据(1)求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？解(1)由条件可知，x－＝15i＝15xi＝5405＝108，y－＝15i＝15yi＝4205＝84，i＝15(xi－x－)(yi－y－)＝(－8)×(－6)＋(－6)×(－4)＋0×0＋6×4＋8×6＝144，i＝15(xi－x－)2＝(－8)2＋(－6)2＋02＋62＋82＝200，答案b＝i＝15xi－x－yi－y－i＝15xi－x－2＝144200＝0.72，a＝y－－bx－＝84－0.72×108＝6.24，故y关于x的线性回归方程为y^＝0.72x＋6.24.答案(2)当x＝200时，y^＝0.72×200＋6.24＝150.24.所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米．答案12．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20102012201420162018需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y^＝bx＋a；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2020年的粮食需求量．解本题考查回归分析的基本思想及其初步应用、回归直线的意义和求法、数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力．(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：答案年份－2014－4－2024需求量－257－21－1101929对预处理后的数据，容易算得x－＝0，y－＝3.2，b＝－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5，a＝y－－bx－＝3.2.答案由上述计算结果，知所求回归直线方程为y^－257＝b(x－2014)＋a＝6.5(x－2014)＋3.2，即y^＝6.5(x－2014)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2020年的粮食需求量为6．5×(2020－2014)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．(未写近似值不扣分)答案13．日常生活中，某些东西所含的热量比较高，对我们的身体有一定的影响，下表给出了不同类型八种饼干的数据，第一列数据表示八种饼干各含热量的百分比，第二列数据表示顾客对八种饼干所给予分数(百分制)．品种所含热量的百分比口味记录1258923489320804197852675620717196582462(1)求出回归直线方程；(2)关于两个变量之间的关系，你能得出什么结论？(3)为什么人们更喜欢吃位于回归直线上方的饼干而不是下方的饼干？解(1)先把数据列成表：答案由上表分别计算x，y的平均数得x－＝1878，y－＝6098，代入公式b＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2，a＝y－－bx－，得b＝14426－8×1878×60984555－8×18782＝190.625183.875≈1.037，a＝6098－1.036710×1878＝76.125－24.2331≈51.9.则回归直线方程y^＝1.037x＋51.9.答案(2)回归直线方程y^＝1.037x＋51.9中的回归系数b＝1.037，它的意义是热量比每增加一个百分比，口味记录平均增加1.037分．(3)因为饼干所含有的热量百分比相同时，人们的满意率比较高；并且满意率相同时，位于回归直线上方的饼干所含热量百分比较低，人们比较喜欢吃热量百分比较低的食品．所以人们喜欢吃位于回归直线上方的饼干．答案本课结束