2019-2020学年高中数学 第一章 数列 3.2 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项

第一章数列3．2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和1．等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、末项与公比选用公式Sn＝na1，q＝1，_____________q≠1Sn＝na1，q＝1，______________，q≠1a1（1－qn）1－qa1（1－anq）1－q2.等比数列前n项和的性质(1)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列．[注意]当q≠－1或q＝－1且m为奇数时，此性质成立．(2){an}为公比不为1的等比数列⇔Sn＝Aqn＋B(A＋B＝0)．(3)a11－q＝S11－q＝S21－q2＝…＝Sn1－qn(qn－1≠0)．(4)等比数列{an}中，若项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{an}的前n项和时，可直接套用公式Sn＝a1（1－qn）1－q来求．()(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.()(3)等比数列{an}的首项为1，a4＝8，则前5项和为31.()×√√等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为()A.1－xn1－xB．1－xn－11－xC.1－xn1－x（x≠1），n（x＝1）D．1－xn－11－x（x≠1），n（x＝1）解析：选C.当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n.当x≠1时，q＝x，Sn＝a1（1－xn）1－x＝1－xn1－x.等比数列{an}的前n项和Sn＝k·3n＋1，则k的值为()A．全体实数B．－1C．1D．3解析：选B.当n＝1时，a1＝S1＝3k＋1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k·3n－k·3n－1＝2k·3n－1.令3k＋1＝2k得k＝－1.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝18，则该数列的前10项和为________．解析：设其公比为q，因为a1＝1，a4＝a1q3＝18.所以q＝12.所以S10＝1×1－12101－12＝2－129.答案：2－1291．等比数列前n项和公式的两点认识(1)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1.(2)q≠1时，等比数列前n项和Sn有两个求解公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝a1（1－qn）1－q(q≠1)较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝a1－anq1－q(q≠1)较方便．2．等比数列中用到的数学思想(1)分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论．(2)函数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝a1q·qn(q0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝a1q－1·(qn－1)(q≠1)．设A＝a1q－1，则Sn＝A(qn－1)也与指数函数相联系．等比数列前n项和的基本运算(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．【解析】(1)因为a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又因为Sn＝126，所以2（1－2n）1－2＝126，所以n＝6.(2)设等比数列的公比为q，则有a1＋a1q3＝9，a21·q3＝8，解得a1＝1，q＝2或a1＝8，q＝12.又{an}为递增数列，所以a1＝1，q＝2，所以Sn＝1－2n1－2＝2n－1.答案：(1)6(2)2n－1在本例(2)条件下，求数列1an的前n项和Tn.解：由本例解析知数列1an的首项为1，公比为12，则Tn＝1－12n1－12＝2－12n－1.等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换．1.(1)设数列{an}满足：2an＝an＋1(n∈N＋)，且前n项和为Sn，则S4a2的值为()A.152B．154C．4D．2(2)在等比数列{an}中，若q＝2，S4＝1，则S8＝________．解析：(1)由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故S4a2＝a1（1－24）1－2a1×2＝152，选A.(2)设首项为a1，因为q＝2，S4＝1，所以a1（1－24）1－2＝1，即a1＝115，所以S8＝a1（1－q8）1－q＝115（1－28）1－2＝17.答案：(1)A(2)17等比数列前n项和的性质(1)已知等比数列{an}中，若前10项的和是10，前20项的和是30，则前30项的和是________．(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．【解析】(1)法一：因为数列{an}是等比数列，所以有S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(30－10)2＝10×(S30－30)，即S30－30＝40，即S30＝70.法二：由性质Sm＋n＝Sn＋qnSm，得S20＝S10＋q10S10，即30＝10＋10q10，所以q10＝2.所以S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70.(2)由题意，得S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，解得S奇＝－80，S偶＝－160.所以q＝S偶S奇＝－160－80＝2.【答案】(1)70(2)2等比数列前n项和性质的应用(1)等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)．(2)若项数为2n，则S偶S奇＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q(S偶≠0).2.(1)在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()A．135B．100C．95D．80(2)若等比数列{an}的公比为13，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．解析：(1)由等比数列的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.所以a7＋a8＝40×323＝135.(2)令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知：YX＝q＝13，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.答案：(1)A(2)80等比数列前n项和的实际应用从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，以发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15.本年底当地旅游业收入估计为400万元．由于该项目建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an和bn.【解】第一年投入为800万元，第二年投入为8001－15万元，…，第n年投入为8001－15n－1万元，所以n年内的总投入为an＝800＋8001－15＋…＋8001－15n－1＝4000(1－0.8n)(万元)．第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为4001＋14万元，…，第n年旅游业收入为4001＋14n－1万元，所以，n年内的旅游业总收入为bn＝400＋4001＋14＋…＋4001＋14n－1＝1600(1.25n－1)(万元)．解答数列应用题的步骤对于一个实际问题，首先要弄清题目中所含的数量关系，考察是否可通过建立数列模型来解决，是否可以转化为等比数列的问题，基本思路清晰后再着手解题．要注意：(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型．(2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释．(3)实际问题解答完成后一定要有结论．3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得a1（1－27）1－2＝381，解得a1＝3，选择B.易错警示等比数列求和中的误区设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q.【解】当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件；当q≠1时，a1（1－q3）1－q＝3a1q2，因为a1≠0，所以1＋q＋q2＝3q2，2q2－q－1＝0，解得q＝－12.综上所述，公比q的值是1或－12.本题易忽视q＝1这一情况，从而得出错解，在利用等比数列求和公式前，先看公比q，若其中含有字母，就应按q＝1和q≠1进行讨论．1．数列{2n－1}的前99项和为()A．2100－1B．1－2100C．299－1D．1－299解析：选C.数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝1－2991－2＝299－1.2．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10)B．19(1－3－10)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)解析：选C.因为3an＋1＋an＝0，所以an＋1an＝－13，所以数列{an}是以－13为公比的等比数列．因为a2＝－43，所以a1＝4，所以S10＝41－－13101－－13＝3(1－3－10)．故选C.3．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.解析：因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且q＞1，所以a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝1×（1－26）1－2＝63.答案：634．一个项数为偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求其通项公式．解：设此数列为{an}，其首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝S偶S奇＝13.又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a31·q3＝64，即a1＝12.故所求通项公式为an＝12·13n－1.