2019-2020学年高中数学 第一章 数列 3.1 等比数列 第2课时 等比数列的性质课件 北师大

第一章数列第2课时等比数列的性质1．等比数列的通项公式与指数函数(1)等比数列的通项公式an＝a1·qn－1可以看作是指数型函数y＝cqx.(2)等比数列增减性：①当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，等比数列{an}是递增数列；②当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，等比数列{an}是递减数列；③当q＝1时，等比数列{an}是常数列；④当q＜0时，等比数列{an}是摆动数列．2．等比数列的性质若数列{an}是公比为q的等比数列，则(1)an＝amqn－m(m，n∈N＋)．(2)若m＋n＝s＋t＝2k(m，n，s，t，k∈N＋)，则am·an＝as·at＝．(3){c·an}(c是非零常数)是公比为的等比数列．(4){|an|}是公比为的等比数列．(5)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2且项数相同的等比数列，则数列{an·bn}是公比为的等比数列．a2kq|q|q1·q2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)q＞1时，等比数列{an}是递增数列．()(2)在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq，则m＋n＝p＋q.()(3)在等比数列{an}中，如果m＋n＝2k，(m，n，k∈N＋)，那么am·an＝a2k.()(4)若数列{an}是等比数列，则数列1an是等比数列．()解析：(1)错误．q＞1，a1＞0时，等比数列{an}是递增数列，q＞1，a1＜0时，等比数列{an}是递减数列．(2)错误．若等比数列是非零常数列则结论就不成立．(3)正确．因为am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，所以am·an＝a21qm＋n－2又因为a2k＝(a1qk－1)2＝a21q2(k－1)＝a21qm＋n－2.所以aman＝a2k.(4)正确．因为数列{an}是等比数列，公比为q.所以1an也是等比数列，公比为1q.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于()A．－12B．－2C．2D．12解析：选D.由a5＝a2q3，得q3＝a5a2＝142＝18，所以q＝12，故选D.将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列解析：选B.由于anan＋1an－1an＝anan－1×an＋1an＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B.在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝120，则a5＋a6＝____________．解析：由等比数列性质易知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列，即a5＋a6＝(a1＋a2)·120302＝480.答案：4801．等比数列{an}中各项符号的确定(1)当a10，q0时，各项为正数．(2)当a10，q0时各项为负数．(3)当q0时，先正(负)后负(正)，即正、负项相互间隔．2．等比数列的子数列的特性若数列{an}是公比为q的等比数列，则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列．(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列．(3)若{kn}成等差数列且公差为d，则{akn}是公比为qd的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列．等比数列性质的应用(1)已知等比数列{an}满足an0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2(2)已知{an}是等比数列且an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5＝________．【解析】(1)法一：由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝a21q2n－2＝22n.又an0，所以(a1qn－1)2＝(2n)2，所以a1qn－1＝2n.而log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2(an1q0＋2＋…＋2n－2)＝log2[an1qn(n－1)]＝log2[(a1qn－1)n]＝log2[(2n)n]＝n2.法二：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an0，所以an＝2n.于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.(2)因为{an}为等比数列，所以a2a4＝a23，a4a6＝a25.所以a23＋2a3a5＋a25＝25.即(a3＋a5)2＝25.因为an0，所以a3＋a5＝5.答案：(1)C(2)5等比数列常用性质(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq.特例：若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则am·an＝a2p.(2)anam＝qn－m(m，n∈N＋)．(3)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{an}为等比数列，则数列{λan}(λ为不等于0的常数)、1an仍然成等比数列．(5)数列{an}、{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}仍成等比数列．1.已知数列{an}为等比数列，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．解：设数列{an}的公比为q，因为a1a3＝a22，所以a1a2a3＝a32＝8，所以a2＝2，从而a1＋a3＝5，a1a3＝4，所以a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.所以a1＝1，q＝2或a1＝4，q＝12.所以an＝2n－1或an＝23－n.等比数列的设法与求解已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为______________．【解析】由题意设此四个数分别为bq，b，bq，a，则b3＝－8，解得b＝－2，q与a可通过解方程组2bq＝a＋b，ab2q＝－80求出，即为a＝10，b＝－2，q＝－2或a＝－8，b＝－2，q＝52，所以此四个数为1，－2，4，10或－45，－2，－5，－8.【答案】1，－2，4，10或－45，－2，－5，－8灵活设项求解等比数列的技巧(1)三个数成等比数列设为aq，a，aq.(2)四个符号相同的数成等比数列设为aq3，aq，aq，aq3.(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.2.已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－32，则这三个数依次为_______．解析：设这三个数分别为aq，a，aq，则a3＝1，a＋aq＝－32，解得a＝1，q＝－52，所以这三个数依次为－25，1，－52.答案：－25，1，－52等比数列的实际应用为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2017年底，将当地沙漠绿化了40%，从2018年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg2＝0.3，最后结果精确到整数)．【解】设该地区总面积为1，2017年底绿化面积为a1＝25，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2017年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.依题意，an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，所以an＋1＝92%·an＋12%(1－an)＝45an＋325，即an＋1－35＝45an－35，a1－35＝25－35＝－15.所以an－35是以－15为首项，45为公比的等比数列，所以an－35＝－1545n－1，所以an＝35－1545n－1，则an＋1＝35－1545n，因为an＋150%，所以35－1545n12，所以45n12，nlog4512＝lg21－3lg2＝3.则当n≥4时，不等式45n12恒成立．所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.本题将实际问题抽象成一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算，不要在运算中出现问题．3.(1)一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后____________分钟，该病毒占据内存64MB(1MB＝210KB)．(2)从盛满a(a1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：(1)由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．故填45.(2)设开始的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－1a，设操作n次后溶液的浓度为an，则操作n＋1次后溶液的浓度为an＋1＝an1－1a.所以{an}是以a1＝1－1a为首项，公比为q＝1－1a的等比数列．所以an＝a1qn－1＝1－1an.即第n次操作后酒精的浓度是1－1an.当a＝2时，由an＝12n110解得n≥4.故至少应操作4次后才能使酒精浓度小于10%.规范解答等差、等比数列的简单综合问题(本题满分12分)已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn＝3an(n∈N＋)．(1)若a8＋a13＝m，求b1b2…b20；(2)若b3·b5＝39，a4＋a6＝3，求b1b2…bn的最大值．【解】(1)因为数列{bn}为等比数列，则bnbn－1＝3an－an－1＝q，所以an－an－1＝log3q，所以数列{an}是以log3q为公差的等差数列(q为等比数列{bn}的公比)．(2分)又a8＋a13＝m，所以b1b20＝3a1·3a20＝3a1＋a20＝3m，b2b19＝3a2·3a19＝3a2＋a19＝3m，…，b10b11＝3a10·3a11＝3a10＋a11＝3m，(4分)所以b1b2…b20＝(b1b20)10＝310m.(6分)(2)由b3·b5＝39，得a3＋a5＝9.又a4＋a6＝3，所以公差d＝－3，a1＝272，所以an＝272＋(n－1)·(－3)．(8分)于是a1＋an＝272＋272＋3－3n＝30－3n，所以b1b2…bn＝(b1bn)n2＝(3a1＋an)n2＝3－32(n2－10n)．(10分)所以，当n＝5时，b1b2…bn取得最大值3752.(12分)(1)判断出{an}为等差数列是本题突破点．易误认为b1b2…b20＝(b1b20)20，从而失去2分．应注意n∈N＋.(2)解答等差数列、等比数列的证明问题，关键是根据题目要求有目的地进行变形．要注意an＋1－an＝d与an－an－1＝d，an＋1an＝q与anan－1＝q中n的取值不同，必要时对n＝1要进行验证．1．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6的值为()A．4B．8C．36D．32解析：选C.因为{an}是等比数列，所以a2a6＝a24＝36.2．已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则q的值为()A．2B．1C.12D．18解析：选A.因为