2019-2020学年高中数学 第一章 数列 1.2 数列的函数特性课件 北师大版必修5

第一章数列1．2数列的函数特性1．数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的就是这个数列．2．数列的函数特性数列{an}的通项公式an＝f(n)．(1)定义域：N＋(或它的有限子集)．(2)值域：．一列函数值{a1，a2，…，an，…}(3)图像：一群孤立的点．(4)数列的增减性名称定义表达式递增数列从第2项起，每一项都它前面的一项an＋1an递减数列从第2项起，每一项都它前面的一项an＋1an(n，an)大于小于名称定义表达式常数列各项都________an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前1项，有些项小于它的前1项相等判断题.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列0，－1，－2，－3是递减数列．()(2)若函数y＝f(x)是增函数，则数列an＝f(n)的图像为递增的孤立点．()(3)数列{an}可以看作是一个定义域为正整数集N＋，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．()√√×已知数列{an}满足a10，且an＋1＝16an，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定答案：B有下列数列：①1，2，22，23，…；②1，0.5，0.52，0.53，…；③7，7，7，7，…；④－2，2，－2，2，－2，….其中递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，常数列是________．(填序号)答案：①②④③数列与函数(1)数列是一个函数，它的很多性质，如定义域、解析式、值域、表示方法等都可以从函数的角度去解释，但它又是特殊函数，特殊在定义域上：正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})且自变量必须从小到大依次取值，所以不能单纯地用函数知识解决数列问题，注意区分数列与一般函数的不同．(2)从图像上来看，往往函数的图像是连续或部分连续的，而数列的图像是由一系列孤立的点构成，每一部分都不连续.判断数列的增减性已知数列{an}的第n项可以表示为2n3n＋1，n∈N＋，试判断数列的增减性．【解】因为{an}的第n项为2n3n＋1，所以{an}的第(n＋1)项为2（n＋1）3（n＋1）＋1.因为2（n＋1）3（n＋1）＋1－2n3n＋1＝2n＋23n＋4－2n3n＋1＝（2n＋2）（3n＋1）－2n（3n＋4）（3n＋4）（3n＋1）＝6n2＋8n＋2－6n2－8n（3n＋4）（3n＋1）＝2（3n＋4）（3n＋1）0，所以2（n＋1）3（n＋1）＋12n3n＋1，所以数列{an}的第(n＋1)项大于第n项，故数列{an}是递增数列．数列单调性的判断方法(1)作差法：若an＋1－an0，则{an}是递增数列；若an＋1－an0，则{an}是递减数列．(2)作商法：若an＋1an1(an0，n∈N＋)或an＋1an1(an0，n∈N＋)，则{an}是递增数列；若an＋1an1(an0，n∈N＋)或an＋1an1(an0，n∈N＋)，则{an}是递减数列．1.已知数列{an}，an＝n－n2＋1(n＝1，2，3，…)，试判断数列{an}的单调性．解：因为an＋1an＝n＋1－（n＋1）2＋1n－n2＋1＝n＋n2＋1n＋1＋（n＋1）2＋11，又an0(n＝1，2，3，…)，所以an＋1an，即数列{an}为递增数列．结合图像判断数列的增减性数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋14，画出该数列的图像，并判断该数列的增减性．【解】an＝n2－8n＋14＝n2－8n＋16－2＝(n－4)2－2，n∈N＋.作出数列的图像如图所示：所以该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{4，5，6，7，…}上是递增的．判断数列的增减性时，可以根据给出的通项公式画出图像，观察图像的变化趋势得出结论．2.(1)设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.163B．133C．4D．0(2)作出数列－1，1，－1，1，…，(－1)n，…的图像，并判断数列的增减性．解：(1)选D.因为an＝－3n－522＋34，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大值为0.(2)作出数列的图像如图所示，数列各项的值负正相间，表示数列的各点相对于横轴上下摆动，它既不是递增的，也不是递减的．易错警示忽视n的取值范围致误已知在数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，3)C．(－∞，2)D．(－∞，3]【解析】an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k.由于{an}单调递增，故应有an＋1－an＞0，即2n＋1－k＞0恒成立，所以k＜2n＋1，故只需k＜3即可．故选B.【答案】B因为an是关于n的二次函数，本题易错解为函数图像的对称轴x=k2在直线x=1的左侧，即k2≤1，k≤2，故选A.错因是忽视了n为正整数这一条件．对于数列的增减性的判断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断：若an＋1＞an，则数列为递增数列；若an＋1＜an，则数列为递减数列．1．下列说法中不正确的是()A．数列a，a，a，…是无穷数列B．数列{f(n)}就是定义在正整数集N＋或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数值C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列解析：选B.A，D显然正确；对于B，因为数列{f(n)}是定义在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．2．已知数列{an}满足：a10，an＋1an＝12，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不确定解析：选A.因为a10，an＋1an＝12，所以an0，且an＋1an1.所以an＋1an，所以数列{an}是递增数列，故选A.3．已知数列{an}的通项公式为an＝4n－102，那么数列{an}中小于零的项共有________项．解析：令4n－1020，得n2512，所以数列{an}中小于零的项共有25项．答案：254．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n－8.(1)数列中有多少项为负数？(2)数列{an}是否有最小项？若有，求出其最小项．解：(1)令an0，即n2－7n－80，得－1n8.又n∈N+，所以n＝1，2，3，…，7，故数列从第1项至第7项均为负数，共7项．(2)an＝n2－7n－8是关于n的二次函数，其图像的对称轴方程为n＝72＝3.5，所以当1≤n≤3时，{an}是递减数列；当n≥4时，{an}是递增数列，所以当n＝3或4时，an最小，且最小项为a3＝a4＝－20.