2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数章末小结与测评课件 新人教A版必修4

1．在直角坐标系中，设任意角α终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r＝x2＋y2，则sinα＝yr；cosα＝xr；tanα＝yx.2．任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．3．三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限．[典例1]已知角α的终边经过点P(12m，－5m)(m≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．解：r＝（12m）2＋（－5m）2＝13|m|，若m0，则r＝13m，α为第四象限角，sinα＝yr＝－5m13m＝－513，cosα＝xr＝12m13m＝1213，tanα＝yx＝－5m12m＝－512.若m0，则r＝－13m，α为第二象限角，sinα＝yr＝－5m－13m＝513，cosα＝xr＝12m－13m＝－1213，tanα＝yx＝－5m12m＝－512.[对点训练]1．α是第四象限角，P(5，x)为其终边上一点，且sinα＝24x，则cosα的值为()A.104B.64C.24D．－104解析：由定义可得sinα＝xx2＋5＝24x，x0，可得x＝－3，∴cosα＝522＝104.答案：A解析：∵－π2α0，∴tanα0，cosα0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限.2．若－π2α0，则点P(tanα，cosα)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．化简的顺序是：(1)先用诱导公式化为同角三角函数．(2)再用同角三角函数关系化简．用同角三角函数关系化简时，有两种思路：①化弦法：当切函数的项比较少时，常常化弦达到化简的目的；②化切法：当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简．[典例2]已知2＋tan（θ－π）1＋tan（2π－θ）＝－4，求(sinθ－3cosθ)·(cosθ－sinθ)的值．解：2＋tan（θ－π）1＋tan（2π－θ）＝2＋tanθ1－tanθ＝－4，解得tanθ＝2.(sinθ－3cosθ)·(cosθ－sinθ)＝sinθcosθ－sin2θ－3cos2θ＋3sinθcosθ＝4sinθcosθ－sin2θ－3cos2θsin2θ＋cos2θ＝4tanθ－tan2θ－3tan2θ＋1＝4×2－22－322＋1＝15.[对点训练]2．化简下列各式：(1)sin3（π＋α）cos（－α）cos（π－α）tan3（π＋α）cos3（－α－π）＋cos（α＋3π）sin2（α＋3π）cos23π2＋αtan（α＋5π）tan（π＋α）cos3（π＋α）；(2)tan（－510°）cos（－210°）cos120°tan（－600°）sin（－330°）＋sin29°cos61°－tan36°·tan54°.解：(1)原式＝－sin3αcosα（－cosα）tan3α（－cosα）3＋（－cosα）sin2αsin2αtanαtanα（－cosα）3＝－sin3αcos2αsin3αcos3α·cos3α＋cosαsin4αsin2αcos2α·cos3α＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1.(2)原式＝－tan510°cos210°cos120°－tan600°（－sin330°）＋sin29°cos61°－tan36°·tan54°＝－tan（360°＋150°）cos（180°＋30°）cos（180°－60°）tan（2×360°－120°）sin（360°－30°）＋1－tan36°tan54°＝－tan150°（－cos30°）（－cos60°）tan（－120°）（－sin30°）＝tan（180°－30°）cos30°cos60°tan（－180°＋60°）sin30°＝（－tan30°）cos30°cos60°tan60°sin30°＝－36.(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线．周期变换ω(ω0)→周期变换ω(ω0)→振幅变换A(A0)和周期变换ω(ω0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A(A0)．注意二者平移量的不同．(3)由已知条件确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，需要确定A，ω，φ，其中A，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．①平衡点法由y＝Asin(ωx＋φ)＝Asinωx＋φω知它的平衡点的横坐标为－φω，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1＝－φω，则可求φ.②确定最值法这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程．③利用单调性将函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sinx的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ.[典例3]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，0φπ2的图象上的一个最低点为M2π3，－2，周期为π.(1)求f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移π6个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式；(3)当x∈0，π12时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)由题可知T＝2πω＝π，∴ω＝2.又f(x)min＝－2，∴A＝2.由f(x)的最低点为M，得sin4π3＋φ＝－1.∵0φπ2，∴4π34π3＋φ11π6.∴4π3＋φ＝3π2.∴φ＝π6.∴f(x)＝2sin2x＋π6.(3)∵0≤x≤π12，∴π6≤2x＋π6≤π3.∴当2x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)min＝2sinπ6＝1，当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，f(x)max＝2sinπ3＝3.[对点训练]4．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间π2，3π2内的图象大致是()解析：选D当x∈π2，π时，sinx≥0，tanx≤0，∴tanx－sinx≤0.∴y＝tanx＋sinx－(sinx－tanx)＝2tanx.同理，当x∈π，3π2时，sinx0，tanx0，故tanx－sinx0.∴y＝tanx＋sinx－(tanx－sinx)＝2sinx.综上可知，选项D正确．5．如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？解：(1)由图象知A＝－12－－322＝12，k＝－12＋－322＝－1，T＝2×2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∴y＝12sin(2x＋φ)－1.当x＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y＝12sin2x＋π6－1.(2)把y＝sinx向左平移π6个单位，得到y＝sinx＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y＝sin2x＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y＝12sin2x＋π6，最后把函数y＝12sin2x＋π6的图象向下平移1个单位，得到y＝12sin2x＋π6－1的图象.(1)函数y＝sinx和y＝cosx的周期是2π，y＝tanx的周期是π；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期是2π|ω|，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是π|ω|.(2)函数y＝sinx和y＝cosx的有界性为：－1≤sinx，cosx≤1，函数y＝tanx没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．(3)函数y＝sinx在－π2＋2kπ，π2＋2kπ上递增，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ上递减；函数y＝cosx在[－π＋2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ＋π]上递减；函数y＝tanx在－π2＋kπ，π2＋kπ上递增，以上k∈Z.(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f(ωx＋φ)的单调区间时，采用整体代换的方法将ωx＋φ视为整体求解相应x的范围即可，注意ω的符号及f对单调性的影响．[典例4](2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③解析：①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故①正确；②中，当x∈π2，π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，故②错误；③中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.又∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，故③错误；④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，当x＝π2＋2kπ(k∈Z)或x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，f(x)能取得最大值2，故④正确．综上，①④正确．故选C.答案：C[对点训练]6．函数f(x)＝3sin2x－π3的图象为C.①图象C关于直线x＝11π12对称；②函数f(x)在区间－π12，5π12内是增函数；③由y＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C.以上三个论断中，正确论断的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C①f11π12＝3sin11π6－π3＝3sin3π2＝－3，∴直线x＝11π12为对称轴，①对；②由－π12x5π12⇒－π22x－π3π2，由于函数y＝3sinx在－π2，π2内单调递增，故函数f(x)在－π12，5π12内单调递增，②对；③f(x)＝3sin2x－π6，而由y＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度得到函数y＝3sin2x－π3的图象，得不到图象C，③错．