2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 第4节 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数

1.4.3正切函数的性质与图象一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P42～P45的内容，回答下列问题．(1)正切函数y＝tanx的定义域是什么？提示：x|x≠kπ＋π2，k∈Z．(2)诱导公式tan(π＋x)＝tanx说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tanx的关系怎样？提示：周期性．tan(kπ＋x)＝tan_x(k∈Z)．(3)诱导公式tan(－x)＝－tanx说明了正切函数的什么性质？提示：奇偶性．(4)从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？提示：不是，正切函数没有最大值和最小值．(5)从正切线上观察正切函数值，在0，π2上是增大的吗？提示：是的．二、归纳总结·核心必记1.正切函数的性质函数y＝tanx定义域值域周期最小正周期为奇偶性单调性在每个开区间上都是x|x≠kπ＋π2，k∈Z(－∞，＋∞)π奇函数kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)增函数2.正切函数的图象(1)正切函数的图象：(2)正切函数的图象叫做．(3)正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的．正切曲线x＝π2＋kπ，k∈Z三、综合迁移·深化思维(1)正切函数在整个定义域上都是增函数吗？提示：不是．正切函数在每一个开区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数．但在整个定义域上不是增函数．(2)可以怎样快速作出正切函数的图象？提示：正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(kπ，0)，kπ＋π4，1，kπ－π4，－1，k∈Z，两线为直线x＝kπ＋π2和直线x＝kπ－π2，其中k∈Z．探究点一正切函数的定义域、值域问题[典例精析]1．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝tanx＋π4；(2)y＝3－tanx.[解](1)由x＋π4≠kπ＋π2(k∈Z)得，x≠kπ＋π4，k∈Z，所以函数y＝tanx＋π4的定义域为x|x≠kπ＋π4，k∈Z，其值域为(－∞，＋∞)．(2)由3－tanx≥0得，tanx≤3.结合y＝tanx的图象可知，在－π2，π2上，满足tanx≤3的角x应满足－π2＜x≤π3，所以函数y＝3－tanx的定义域为x|kπ－π2＜x≤kπ＋π3，k∈Z，其值域为[0，＋∞)．[类题通法]求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠π2＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tanx＞a的不等式的步骤：[针对训练]1．函数f(x)＝1tanx－1的定义域是________．解析：若使函数f(x)有意义，需使tanx－1＞0，即tanx＞1.结合正切曲线，可得kπ＋π4＜x＜kπ＋π2(k∈Z)．所以函数f(x)的定义域是kπ＋π4，kπ＋π2(k∈Z)．答案：kπ＋π4，kπ＋π2(k∈Z)探究点二正切函数的单调性及应用[典例精析]2．(1)求函数y＝tan12x－π4的单调区间；(2)比较tan－13π4与tan－12π5的大小．[解](1)由kπ－π2＜12x－π4＜kπ＋π2(k∈Z)得，2kπ－π2＜x＜2kπ＋3π2，k∈Z，所以函数y＝tan12x－π4的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．(2)由于tan－13π4＝tan－4π＋3π4＝tan3π4＝－tanπ4，tan－12π5＝－tan2π＋2π5＝－tan2π5，又0＜π4＜2π5＜π2，而y＝tanx在0，π2上单调递增，所以tanπ4＜tan2π5，－tanπ4＞－tan2π5，即tan－13π4＞tan－12π5.[类题通法]1.求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω＞0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2＜ωx＋φ＜kπ＋π2，求得x的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．2.运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．[针对训练]2．(1)比较tan1，tan2,tan3的大小；(2)求函数y＝3tanπ4－2x的单调区间．解：(1)因为tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)．又因为π2＜2＜π，所以－π2＜2－π＜0.因为π2＜3＜π，所以－π2＜3－π＜0.显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2，又y＝tanx在－π2，π2内是增函数，所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan1，即tan2＜tan3＜tan1.(2)y＝3tanπ4－2x＝－3tan2x－π4，由－π2＋kπ＜2x－π4＜π2＋kπ得，－π8＋kπ2＜x＜3π8＋kπ2(k∈Z)，所以y＝3tanπ4－2x的单调递减区间为－π8＋kπ2，3π8＋kπ2(k∈Z)．探究点三与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题[典例精析]3．(1)求f(x)＝tan2x＋π3的最小正周期；(2)判断y＝sinx＋tanx的奇偶性．[解](1)∵tan2x＋π3＋π＝tan2x＋π3，即tan2x＋π2＋π3＝tan2x＋π3，∴f(x)＝tan2x＋π3的周期是π2.(2)定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z，关于原点对称，∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它是奇函数．[类题通法]正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期性、奇偶性(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋π2(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．[针对训练]3．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f(x)的图象关于π2－φ，0对称；③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．解析：①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tanx，此时，f(x)为奇函数，所以①错；观察正切函数y＝tanx的图象，可知y＝tanx关于kπ2，0(k∈Z)对称，令x＋φ＝kπ2得x＝kπ2－φ，分别令k＝1，2知②、③正确，④显然正确．答案：①[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用．2．本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(kπ，0)，kπ＋π4，1，kπ－π4，－1，其中k∈Z.两线为直线x＝kπ＋π2(k∈Z)，直线x＝kπ－π2(k∈Z)．3．要掌握与正切函数性质有关的三个问题(1)与正切函数有关的定义域、值域问题，见探究点一；(2)正切函数的单调性及应用，见探究点二；(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题，见探究点三.4．本节课的易错点有两处(1)易忽视正切函数y＝tanx的定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z，如探究点一的第(1)题．(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴．